Polígonos con dos diagonales de longitud fija

Question

Considerar el polígono $P$ en la siguiente imagen, que tiene lados dibujados en negro y el interior de las diagonales trazadas en rojo y azul. $P$ tiene 4 ángulos convexos y 4 ángulos cóncavos en orden alterno como es claro a partir de la imagen.

Estoy tratando de entender si es posible acortar uno o más de sus lados o azul diagonales de $P$ en un proceso continuo de tal manera que tanto se cumplan las siguientes condiciones:

• por el acortamiento dijo lados o azul diagonales de $P$ ningún otro lado o azul diagonal de $P$ obtiene más

• por el acortamiento dijo lados o azul diagonales de $P$ de las longitudes de los dos red diagonales permanecen constantes

Todos mis intentos por hacerlo fallado, así que supongo que la respuesta es no, pero no puedo producir una prueba.

Answer 1

La respuesta corta es: no se puede hacer de otro polígono de eso, y tengo demasiado tiempo libre en mis manos. El ligeramente más largo, la respuesta es que podemos tomar la derivada de una función a partir de los puntos a distancias. El uso de la programación lineal, nos muestran que no podemos tener todas las distancias parciales ser no positivo, lo que significa que no puede ser que todas las no-creciente; esto es exactamente la condición de que ninguna de las partes, o azul diagonal puede obtener más tiempo.

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Deje $P$ ser un polígono definido por esta lista ordenada de los puntos de $A, a, B, b, C, c, D, d$. Superior-caso-de la carta de los puntos son el "exterior" de los puntos, inferior-caso-de la carta de los puntos son el "interior" de puntos.

Supongamos que tenemos un mapa ocho arbitraria de dos coordenadas de los puntos a los dieciséis distancias de los lados y diagonales. (Voy a estar haciendo caso omiso de los ocho diagonales entre el exterior y no contiguos de los puntos interiores, porque somos capaces de resolver este problema sin ellos.) Deje $\mu$ ser nuestra función de distancia $\mu : \mathbb{R}^{16} \to \mathbb{R}^{16}$, tal que:

• $\mu_1$: La distancia desde la $A$$C$.
• $\mu_2$: La distancia desde la $B$$D$.
• $\mu_3$: La distancia desde la $A$$a$.
• $\mu_4$: La distancia desde la $a$$B$.
• $\mu_5$: La distancia desde la $B$$b$.
• $\mu_6$: La distancia desde la $b$$C$.
• $\mu_7$: La distancia desde la $C$$c$.
• $\mu_8$: La distancia desde la $c$$D$.
• $\mu_9$: La distancia desde la $D$$d$.
• $\mu_{10}$: La distancia desde la $d$$A$.
• $\mu_{11}$: La distancia desde la $a$$c$.
• $\mu_{12}$: La distancia desde la $b$$d$.
• $\mu_{13}$: La distancia desde la $a$$b$.
• $\mu_{14}$: La distancia desde la $a$$d$.
• $\mu_{15}$: La distancia desde la $b$$c$.
• $\mu_{16}$: La distancia desde la $c$$d$.

Aquí son la constante de la cruz-las diagonales y el lado distancias.

Y aquí están los interiores de punto de las diagonales que estamos modelando.

Derivar la ecuación, y se obtiene el Jacobiano. Vamos a examinar a la derivada, pero dividida, ya que sólo se preocupan por el positivo y el negativo de la derivada. También te hacen la vida más fácil cuando vamos a resolver esto.

$$D\mu/2 = \left[\frac{\partial \mu}{\partial A_x}\ \frac{\partial \mu}{\partial A_y}\frac{\partial \mu}{\partial a_x}\ \frac{\partial \mu}{\partial a_y} \cdots \frac{\partial \mu}{\partial d_x}\ \frac{\partial \mu}{\partial d_y}\right]$$

Each of those $\parcial\mu$ derivatives is actually a column.

For the sake of a proper derivative, I'm going to insert a variable $t$; you can intuitively think of this as time if you want, and the polygon like it's sorta moving. Whatever. It's just there to make things more formal. We want $\frac{\partial \mu_i}{\partial t},$ dependent on some "movement derivatives" $\frac{\partial Point_c}{\partial t}$, like we're moving the point around. We get to choose the movement derivatives, and our goal is to choose them so that the distances either stay equal or decrease as we move our points. From the derivative equation, we know that:

$$\frac{\partial \mu_i}{\partial t} = \frac{\partial \mu_i}{\partial A_x}\frac{\partial A_x}{\partial t} + \cdots \frac{\partial \mu_i}{\partial d_y}\frac{\partial d_y}{\partial t}$$

So it's really like multiplying our matrix by a variable vector. Turns out, the matrix is pretty sparse.

What does each of these listings look like? For instance, in $\mu_1$, we get this equation:

$$\frac{\partial \mu_1}{\partial t} = (A_x - C_x)\frac{\partial A_x}{\partial t} + (A_y - C_y)\frac{\partial A_y}{\partial t} + (C_x - A_x)\frac{\partial C_x}{\partial t} + (C_y - A_y)\frac{\partial C_y}{\partial t}$$

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At this point, I think it's a good idea to define our particular polygon. I found that these points describe the polygon well: $[(29, 51), (44, 127) (0, 218) ,(86, 185) ,(197, 282 ),(170, 169),(212, 0),(113, 59)]$. Remember, these are for the points $a, a, B, b, C, c, D, d$. I have a link below to plot this polygon, and you can check that it correctly "looks like" the original polygon in this problem, or is at least some acceptable approximation.

Given these polygon points, we can substitute actual numbers in the derivative now. Then we get:

$$\frac{\partial \mu_1}{\partial t} = -168\frac{\partial A_x}{\partial t} -231\frac{\partial A_y}{\partial t} + 168\frac{\partial C_x}{\partial t} + 231\frac{\partial C_y}{\partial t}$$

Hey, this looks like a linear equation! In that case, let Ax stand for $\frac{\partial A_x}{\partial t}$ in the following code listing.

max: Ax - ax + Ay - ay + Bx - bx + By - by + Cx - cx + Cy - cy + Dx - dx + Dy - dy;

r_Ax: Ax = 0;
r_Ay: Ay = 0;
r_Cx: Cx = 0;
r_Cy: Cy = 0;
r_1: -168 Ax -231 Ay +168 Cx +231 Cy = 0;
r_2: -212 Bx +218 By +212 Dx -218 Dy = 0;
r_3: -15 Ax -76 Ay +15 ax +76 ay <= 0;
r_4: +44 ax -91 ay -44 Bx +91 By <= 0;
r_5: -86 Bx +33 By +86 bx -33 by <= 0;
r_6: -111 bx -97 by +111 Cx +97 Cy <= 0;
r_7: +27 Cx +113 Cy -27 cx -113 cy <= 0;
r_8: -42 cx +169 cy +42 Dx -169 Dy <= 0;
r_9: +99 Dx -59 Dy -99 dx +59 dy <= 0;
r_10: +84 dx +8 dy -84 Ax -8 Ay <= 0;
r_11: -126 ax -42 ay +126 cx +42 cy <= 0;
r_12: -27 bx +126 by +27 dx -126 dy <= 0;
r_13: -42 ax -58 ay +42 bx +58 by <= 0;
r_14: -69 ax +68 ay +69 dx -68 dy <= 0;
r_15: -84 bx +16 by +84 cx -16 cy <= 0;
r_16: +57 cx +110 cy -57 dx -110 dy <= 0;
free Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy, Dx, Dy, ax, ay, bx, by, cx, cy, dx, dy;

This is the LP File format for the system of linear equalities that we're trying to solve. A couple things to note here:

• Why are the derivatives for the points $$ and $C$ set to $0$? When I was running the lp_solver, I noticed it tended to give solutions that were just the original polygon, but translated or rotated. Without loss of generality, we can fix one of the constant diagonals in place. I chose the $CA$ diagonal.
• ¿Por qué las otras ecuaciones igual a cero? Constante derivado significa que la ecuación no se mueve. Hemos querido mantener esas diagonales constante, por lo que establecer los derivados a cero.
• Qué hay de las otras desigualdades? Queríamos que no aumentando las distancias, si eran laterales o diagonales. Eso significa que sus derivados debe ser menor o igual a cero.
• ¿Por qué es todo lo que aparece como free en la parte inferior? En la lp_solver programa, las variables no aparece como free tendrá sobre la no-valores negativos. Por el contrario, free variables tienen sobre todos los posibles valores reales, incluyendo valores negativos. Puedes leer más aquí.

El uso de la lp_solver programa, ponche de ese archivo como entrada. Usted obtendrá cero para todo; ninguno de los puntos se pueden mover. Reemplace la función objetivo con max: bx o min: bx. Usted obtendrá cero, lo que significa que el cero es la única solución. En otras palabras, si intenta cualquier otro punto, te voy a romper uno de nuestros programación lineal restricciones.

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Supongamos que sólo se llevaron los primeros doce distancia de ecuaciones, es decir, sólo la cruz diagonales para los puntos interiores. En ese caso, hacemos llegar a una solución. Es ilimitado, así que tome una desigualdad como este:

r_100: Ax - ax + Ay - ay + Bx - bx + By - by + Cx - cx + Cy - cy + Dx - dx + Dy - dy <= 50;

y anexarlo al final de la lp archivo de listado. Cuando se ejecute la lp_solver programa, obtenemos un vector solución para nuestros derivadas parciales, que cuando se añade a los puntos originales produce esta secuencia de puntos: $[(29, 51),(41.71038, 127.451899),(14.5611, 226.59952),(93.82524, 176.04534),(197, 282),(167.6759, 169.555315),(221.24608, 3.43074),(113.992273, 48.5811)]$. Comparar que forma con nuestra forma original va por aquí. Copiar/pegar el texto a continuación y haga clic en "Cargar" para ver las formas. La nueva forma es a la izquierda en rojo, la forma antigua está a la derecha en amarillo.

{ "position": "0 0",
  "model": { "class": "go.GraphLinksModel",
  "nodeDataArray": [ 
{"fill":"yellow", "stroke":"blue", "strokeWidth":3, "category":"PolygonDrawing", "key":-2, "geo":"F M29 51 L44 127 L0 218 L86 185 L197 282 L170 169 L212 0 L113 59z", "loc":"532.25 247.25"},
{"fill":"red", "stroke":"green", "strokeWidth":3, "loc":"226 188", "category":"PolygonDrawing", "geo":"F M29 51 L41.71038 127.451899 L14.5611 226.59952 L93.82524 176.04534 L197 282 L167.6759 169.555315 L221.24608 3.43074 L113.992273 48.5811z", "key":-1}
 ],
  "linkDataArray": []} }

Me he tomado las coordenadas y la comparación de la diferencia entre las distancias de los dos. Resulta, no es exactamente correcto; se desvía del original polígono por alrededor de tres unidades. Las mayores desviaciones se entre $a$ $B$ (a distancia $101.0791769$ unidades en el original, en comparación con $102.7975396$ en el nuevo) y $B$ $b$ (a distancia $92.11405973$ en el polígono original, en comparación con $94.01345119$ en el nuevo). Yo le atribuye esto a numérica de problemas de estabilidad.

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Un par de preguntas que siguen:

• Lo que si quiero probar con otro polígono? Es muy simple. Se puede sustituir la diferencia en los puntos de coordenadas para cualquier conjunto de coordenadas de un punto. A continuación, ejecute cualquiera de programación lineal solver te gusta, y a ver qué sale. Me imagino, para esta configuración, probablemente será cero, independientemente de la función objetivo.
• Puede resolver esto por un genérico polígono que "se parece a" el uno en el estado de cuenta? La pregunta a resolver este polígono $P$, no necesariamente para cualquier polígono $P$ que parece. A continuación, de nuevo, dando un ejemplo particular y la solución no es realmente en el espíritu de la pregunta. ¿Qué podemos hacer para que el dieciséis punto de coordenadas en variables libres? El mejor que he encontrado, por ahora, es teniendo en cuenta todos los de la izquierda-de las relaciones. Dados tres puntos de $A, B, C$, el punto de $C$ está a la izquierda de la línea de $AB$ si $A_xB_y + B_xC_y + C_xA_y - A_xC_y - C_xB_y - B_xA_y < 0$. Por desgracia, eso no es una desigualdad lineal.

Answer 2

Este clásico problema de ingeniería, que cae bajo el tema de Análisis Estático de las Armaduras, así como en virtud de que de la Cinemática de las Cadenas. Usted probablemente no está familiarizado con esta disciplina, y no hay espacio aquí para reanudar su base.
Sin embargo, ya que todo el mundo tiene la experiencia común de vigas y cadenas cinemáticas, voy a citar aquí algunos hechos que deben sonido "plausible", mientras que las referencias a la documentación especializado para un riguroso tratamiento.

La figura anterior se traduce en el problema propuesto en la ingeniería del lenguaje.

El rojo y negro de los segmentos de rigidez de las barras (elementos) y los círculos representa el pin de las articulaciones (nodos).
Ser rígido, todos los elementos se supone que no cambio en la longitud, y sólo puede girar alrededor de las articulaciones. Tenga en cuenta que en los puntos donde los elementos de la diagonal de la cruz no es obligado, lo que significa que los elementos libremente pueden deslizarse unas sobre otras.

Ahora, un cuerpo rígido en el plano tiene tres degre de libertad de movimiento: dos para la traducción y uno de rotación.
A null y "mantener la armadura en la hoja de dibujo" es la costumbre de fijar la $(x,y)$ posición de un nodo (en este caso $A$) y dar otro (convenientemente elegidas) sólo la libertad para desplazarse horizontalmente (en este caso $C$). De esta manera toda la cercha sólo puede tener "interna" de los movimientos y no "como un todo".

Uno de los principales ámbitos de la Estática Análisis es determinar de hecho, si el alma puede tener o no tales "movimientos internos". Si lo tiene, será inestable, y bajo una carga mínima se derrumbará, en el sentido de
que va a cambiar su forma macroscópica. Si no, entonces puede ser Isostática o OverConstrained.
Y esta distinción es muy importante en el Diseño de la Construcción.

Su pregunta prácticamente se traduce a preguntar si el alma es underconstrained o no.

Un resultado de Análisis Estático, bien conocido de todos los ingenieros, dice que una condición necesaria para el sistema de
para ser underconstrained es que
$$ m < 2n - 3 $$
(si $m=2n-3$ es isostática, y sobredeterminada si $m>2n-3$)
donde $m$ es el número de elementos y $n$ el número de nodos (pin articulaciones).
Los resultados analizar los grados de libertad de los diferentes miembros y de los grados
reducido por las restricciones.

Su "entramado" da $m=10<2n-3=13$, y así es muy indeterminado, habiendo $3$ grados de libertad
desenfrenado.
Por lo tanto se puede mover sin cambiar la longitud de cualquiera de sus miembros, y desde acortamiento consume 1 grado
de movimiento, asegúrese de que usted puede corta cualquier segmento, incluso sin cambiar la longitud de los otros $9$.
Claramente, la cantidad de movimiento o acortamiento está limitado a un cierto punto.

El cuadro siguiente proporciona un ejemplo

--- Addendum ----

Finalmente, después de la limpieza obtuvo a partir de los comentarios y la re-edición del post, el alma, lo que se ha convertido en altamente Hyperstatic. Para resolver el problema en este caso vamos a referirnos a un braguero, cuyos miembros son rígidas vs elongación suave y frente a la compresión, excepto los de las diagonales $AE$ $GC$ que son rígidos en ambas direcciones. Una especie de racimo hecho por los cables alrededor de las dos de la diagonal principal de barras.

Si un braguero resulta ser estable, entonces significa que usted puede acortar un lado, sin estirar algunos otros.

Pero ahora el alma, lo que es bastante complicado para ser resuelto "por la mano", y su no-lineal de la rigidez complica el análisis (una silla del director no es un buen racimo).

Si nos movemos al deslizamiento obligado a $E$, obtenemos un vertical de la varilla rígida ($GC$) conectado en ambos extremos por medio de cables de varamiento de la revisión de los nodos, y estas líneas son, a continuación, fuertemente anudado en algún lugar en el medio en todos los instrucciones (las otras no las conexiones demostrado reducir estorbar).
La experiencia común sugiere que debería ser suficiente para asegurar la varilla vertical (a menos de extrema configuraciones).
Pero, ¿cómo proporcionar matemática evidencia de que está fuera de mi alcance, en la actualidad.