Dado que $\Sigma a_n$ diverge, muestra que $\Sigma \frac{a_n}{1+a_n}$ también diverge.

Question

Intuitivamente hablando, al principio pensé que si la serie $\Sigma a_n$ es divergente entonces

$$\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0$$

por lo tanto estaba claro que $\Sigma \frac{a_n}{1+a_n} $ sería divergente, pero al pensarlo hay casos donde el límite de la secuencia se acerca a $0$ y sin embargo diverge, como en la serie armónica.

Luego intenté decir que dado que la secuencia diverge, la serie no es de Cauchy (ni siquiera estoy 100% seguro de que esto sea cierto pero lo intenté)

$$|\sum_{i = m}^{n} a_n| \gt \epsilon$$

y derivé para que la otra serie tampoco fuera de Cauchy, solo que no pude llegar a ninguna conclusión.

Agradezco toda la ayuda.

Answer 1

1. Si $(a_n)$ es una secuencia no negativa, como lo comentaron Panda y David Mitra, la afirmación es verdadera. Esto se debe a que si $\sum_n\frac{a_n}{1+a_n}$ converge, entonces $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$, por lo que, por el criterio de la comparación, $\sum_n a_n$ converge, lo cual es una contradicción.
2. En general, la afirmación es falsa. Por ejemplo, como una construcción similar aquí, sea $b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ y sea $a_n=\frac{b_n}{1-b_n}$. Entonces $b_n=\frac{a_n}{1+a_n}$ y $$a_n=b_n+b_n^2+\frac{b_n^3}{1-b_n}.\tag{1}$$ Es fácil ver que $\sum_n b_n$ es convergente, $\sum_n b_n^2$ es divergente y $\sum_n \frac{b_n^3}{1-b_n}$ es convergente (porque $b_n\to 0$ y $\sum_n |b_n|^3$ es convergente), por lo tanto, a partir de $(1)$ sabemos que $\sum_n a_n$ es divergente.