¿Ayuda a entender el teorema de la prueba de reemplazo?

Question

Lo siento si esta es una pregunta trivial.

El libro es Álgebra lineal hecha correctamente por Axler, página 25-26.

Teorema: En un espacio vectorial de dimensiones finitas, la longitud de cada lista de vectores linealmente independiente es menor o igual que la longitud de cada lista de vectores que se extiende.

Prueba: Supongamos que $(u_1 , \ldots , u_m)$ es linealmente independiente en $V$ y que $(w_1, \ldots ,w_n)$ abarca V. Necesitamos probar que $m \leq n$ . Lo hacemos. a través del proceso de varias etapas descrito a continuación; observe que en cada etapa añadimos uno de los $u$ y quitar uno de los $w$ 's.

Paso 1: La lista $(w_1, \ldots , w_n)$ abarca $V$ y por lo tanto adyacente a cualquier vector de la misma produce una lista de dependencia lineal. En particular, la lista $(u_1,w_1, \ldots ,w_n)$ es linealmente dependiente.

Pregunta: ¿Por qué es $(u_1,w_1, \ldots ,w_n)$ es linealmente dependiente?

Answer 1

Desde $\{w_1, \ldots ,w_n\}$ abarca $V$ y $u_1 \in V$ existen $a_i$ de tal manera que $u_1=a_1w_1+ \cdots +a_nw_n$ . Así que $(-1)u_1+a_1w_1+ \cdots +a_nw_n=0$ y por lo tanto el conjunto contiguo es linealmente dependiente.

Answer 2

$\{w_1,...,w_n\}\,$ abarca $\,V\, \Longrightarrow\ ,\, \forall u_i \in V\,\, \text {we can write }\,\,u_1=a_1w_1+...+a_nw_n\,\,,\,a_i\,$ escalares en el campo de la definición, así que $$a_1w_1+...a_nw_n+(-1)u_1=0$$ y no todos los escalares son cero (ya que al menos $\,-1 \neq 0\,$ ) y así $\{u_1,w_i,...,w_n\}\,$ linealmente dependiente.

Answer 3

Si $(w_1, ..., w_n)$ abarca $V$ Entonces $u_1 \in V$ puede escribirse como una combinación lineal de la $w_i$ así que la lista $(u_1, w_1,...,w_n)$ es linealmente dependiente.

Answer 4

Aquí hay una prueba del resultado que menciono en el comentario que hice arriba y que puede ser útil para alguien que se encuentre con esta pregunta.

Deje que $V$ ser un espacio vectorial sobre el campo $F$ . Si $S \subset V$ es linealmente independiente y $v \in V$ y $v \notin S$ entonces $S \cup \{v\}$ es linealmente dependiente si y sólo si $v \in $ span $(S)$ .

Prueba :

( $ \Rightarrow $ ) Si $S \cup \{v\}$ es linealmente dependiente entonces existe finamente muchos vectores distintos $u_1, \ldots , u_n \in S \cup \{v\}$ y los escalares, no todo es cero, $a_1, \ldots , a_n \in F$ de tal manera que

$$a_1u_1 + \dots + a_nu_n = 0.$$

Ahora uno de los $u_i$ debe ser igual a $v$ ya que de otra manera tendríamos un caso de dependencia lineal para $S$ así que después de reordenar, deja $u_1 = v$ y tenemos

$$a_1v + a_2u_2 + \dots + a_nu_n = 0$$

Y resolviendo para $v$ :

$$v = (-a_1^{-1}a_2)u_2 + \dots + (-a_1^{-1}a_n)u_n.$$

Como $u_2, \ldots , u_n \in S$ tenemos $v \in $ span $(S)$ .

( $ \Leftarrow $ ) Si $v \in $ span $(S)$ entonces podemos escribir, para $u_1, \ldots ,u_n \in S$ y $a_1, \ldots , a_n \in F$ ,

$$v = a_1u_1 + \dots + a_nu_n$$

Como $v \notin S$ que tenemos,

$$a_1u_1 + \dots + a_nu_n + (-1)v = 0.$$

Por lo tanto, $S \cup \{v\}$ es linealmente dependiente. $ \Box $

¡Espero que esto ayude a alguien!