Que $G$ sea un grupo y que $n\in\mathbb Z$. Mostrar que $(ab)^n=a^nb^n\iff(ab)^{1-n}=a^{1-n}b^{1-n}$.

Question

Que $G$ sea un grupo y que $n\in\mathbb Z$. Mostrar que $(ab)^n=a^nb^n\iff(ab)^{1-n}=a^{1-n}b^{1-n}.$

Para la dirección de $"\implies"$, supongamos que $(ab)^n=a^nb^n$ y consideremos el inverso del $ab$. Podemos escribir $(ab)^{-n}=b^{-n}a^{-n}$. Si multiplicamos por $ab$, obtenemos $$ (ab)^{1-n}=(ab) (ab) ^ {-n} = (ab) b ^ {-n} a ^ {-n} = ab ^ {n-1} un ^ {-n}. $$

Pero ahora necesito commutativity a la conclusión de la prueba. ¿Alguien podría ayudarme con el último paso?

Answer 1

Suponiendo que el libro tiene una errata, probar $(ab)^n=a^nb^n$ si y sólo si $(ba)^{1-n}=b^{1-n}a^{1-n}$. Izquierda y la derecha multiplican $(ab)^n$ $a^{-1}$ y $b^{-1}$ respectivamente y obtenemos $(ba)^{n-1}$. Esto sigue desde $ de $$(ab)^n=abab\ldots ab$ $n$ positiva y tomando inversos para $n$ negativa. Así tenemos $$(ba)^{n-1}=a^{n-1}b^{n-1}.$ $ tomar inversos para conseguir una implicación. ¿Se puede hacer el mismo?