Serie de energía de $\ln x$ cerca de $2$

Question

¿Quise encontrar la serie de Taylor de $f(x)=\ln x$ alrededor de $2$, está por debajo del correcto?

Observar que:

(1). $f(2)=\ln 2$ y $f(x)=\ln 2$

(2). $f'(2)=\frac 12$ y $f'(x)=\frac 1x$

(3). $f''(2) =-1\times 2^{-2}$ and $f''(x)=-x^{-2}$

(4). $f'''(2)=-1\times-2\times2^{-3}$ and $f'''(x)=2x^{-3}$

Entonces por inducción, en general obtenemos:

$f^{(n)}(2)=(-1)^{n-1}2^{-n}(n-1)! $

Y la serie es $\ln 2+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2^nn}(x-2)^n$

¿Y hay otras maneras de conseguir la serie?

Answer 1

Hay otras maneras de conseguir la serie, así, por ejemplo considerar\begin{align*} \ln x & = \int_1^x \frac{1}{t} \, dt\\ & = \int_1^x \frac{1}{2+t-2} \, dt\\ & =\frac{1}{2} \int_1^x \frac{1}{1+\frac{t-2}{2}} \, dt\\ \end{align*} ahora utilice serie geométrica para expandir el integrando y luego integrar término racional conseguir la serie.

Answer 2

Sugerencia

Supongamos que dejas $x=2t+2$; por lo tanto, están considerando $$f=\log(2+2t)\implies f'=\frac12\times \frac 1{1+t}$$ Consider now the Taylor expansion of $$\frac 1{1+t}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^n$$ and integrate to get.$$f=\frac12\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} t^{n+1}+C$$ The integration constant is $C=\log (2) $$; replace now $t$ by $\frac 2 {x-2}.