Escribir 'No hay exactamente 1 persona...' sin el cuantificador de unicidad

Question

Durante una conferencia de hoy el profe. se planteó la pregunta de cómo podríamos escribir "No es exactamente una persona a quien todo el mundo le encanta." sin el uso de la singularidad del cuantificador.

La primera parte se escribió como una expresión lógica era "No es una persona a quien todo el mundo le encanta.", ignorando el 'exactamente una' parte de la pregunta inicialmente. A partir de esto escribió

$L(x,y): x$ ama $y$; dominio de $x$ y $y$: $\{\text{people}\}$

$\exists x\forall y: L(y,x)$

Lo que yo entiendo en el sentido de 'Hay una persona $x$ tal que para todo $y$, $x$ es amado por $y$' AKA 'Hay una persona que es amado por todo el mundo'. Tengo esa parte.

La parte que no entiendo es cómo la expresión de 'exactamente'.

$\forall z(\forall y(L(y,z))\to x =z)$

que crea la expresión conjunta

$\exists x\forall y(L(y,x))\land \forall z(\forall y(L(y,z))\to x=z)$

Me parece que no puede entender cómo $\forall z(\forall y(L(y,z))\to x =z)$ significa exactamente aquí. Supongo que se puede tomar $\forall z$ aquí para significar para cualquier persona, lo que significa que el $\forall z$ está considerando la posibilidad de cada persona en el mundo. Esto se traduciría en la segunda expresión bloque a algo así como, "Para que cualquier persona $z$, si todo el mundo ama a $z$ $z$ es la misma persona que $x$".

Para mí, sin embargo $\forall z$, generalmente, significa que para cada elemento en el dominio que yo veo como el significado de cada persona en el mundo a la vez, como parece por $y$. Es que simplemente malo? ¿Cómo puedo saber si $\forall$ significa "todo" y cuando significa 'de (una)'? En la anterior traducción al inglés la única razón por la que era capaz de traducir (si, incluso, a la derecha) es porque yo ya sabía lo que la declaración se supone que debe decir.

Es justo que $\forall z$ significa que esta declaración podría ser cierto para cualquier elemento, y si es así ¿cuál es la diferencia entre el$\forall z$$\exists z$? Alguien me dijo que $\exists z$ sería redundante, ya que la expresión dice $x=z$ pero ¿cómo puedo saber que $x$ $z$ son automáticamente la misma persona si $\exists$ es utilizado para ambos?

Lo siento si esto es un poco largo con demasiadas preguntas. Yo sólo quería tratar de hacer la causa de mi confusión tan claro como sea posible de modo que usted me puede ayudar a entender esto.

Answer 1

Es justo que $\forall z$ significa que esta declaración podría ser cierto para cualquier elemento,

Sí, exactamente.

...y si es así ¿cuál es la diferencia entre el$\forall z$$\exists z$?

Si sólo se afirma la existencia de algún particular $z$ que si $y$ ama $z$, entonces esa persona en particular $z$ así sería la $x$. Pero entonces no estamos descartando que no podría ser otra persona, diferente de $x$, que también es amado por todo el mundo. Y ya hemos afirmado la existencia de alguien (es decir, x), que es amado por todos. Así que en ese sentido, $\exists z$ ... es reduntant.

Necesitamos que el cuantificador universal para $z$ (a presentar una declaración de $\forall z$) en la cláusula segunda para indicar que si hay alguna $z$ (lo que significa que la afirmación de que sigue - como se relaciona a $z$, es verdadero para cada z) $z$ tal que $L(y, z)$, entonces cualquier/todo $z$ debe $x$, ya que no es exactamente una persona, es decir,$x$, que es amado por todos,$y$. I. e., para cada $z,$ si todos y ama a z, entonces z debe ser x: es decir, que $z$ es no otra persona de $x$. Esto nos da que $x$ (cuya existencia se afirma en el comienzo) es por lo tanto la única persona amada por todos.

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Ahora, sólo una supervisión para "limpiar" su expresión, que el estado como:

$$∃x(\forall y L(y,x))\land ∀z(∀y(L(y,z))⟹x=z)$$

Pero aquí tenemos dos cláusulas independientes que crea un problema, porque en su cláusula segunda, ha $x$ aparecen fuera del alcance de su cuantificador. I. e., es gratis, no varible.

Así que queremos que el ámbito de aplicación de la $\exists x$ a persistir en la declaración completa, por lo tanto los corchetes a continuación.

Es decir, $$\exists x \big[\forall y(L(yx))\land \forall z(\forall y(L(y, z) \rightarrow z = x)\big]$$

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Answer 2

La definición más simple de $\langle \exists! x :: P(x) \rangle$ sé que probablemente he aprendido de las obras de Dijkstra et al., es $$\langle \exists y :: \langle \forall x :: P(x) \equiv x = y \rangle \rangle$ $ que sólo utilice una vez $P(x)$.

Cuenta cómo tenemos la siguiente simetría agradable: $$\begin{array} \\ \langle \exists! x :: P(x) \rangle & \;\equiv\; & \langle \exists y :: \langle \forall x :: P(x) & \equiv & x = y \rangle \rangle \\ \langle \exists\phantom! x :: P(x) \rangle & \;\equiv\; & \langle \exists y :: \langle \forall x :: P(x) & \Leftarrow & x = y \rangle \rangle \\ \langle \phantom\exists! x :: P(x) \rangle & \;\equiv\; & \langle \exists y :: \langle \forall x :: P(x) & \Rightarrow & x = y \rangle \rangle \\ \end{matriz} $$ $\langle ! x :: P(x) \rangle$ significa que donde "hay a lo más un $x$ tal que $P(x)$".

Answer 3

La idea detrás de la fórmula es que, para decir exactamente una persona es amada por todo el mundo, primero dices que no existe tal persona $x$ (esta es la parte que dice que entiende), y luego dices que no es una segunda persona. Que la segunda parte se expresa aquí como diciendo, si cualquier otro $z$ demuestra para arriba que es también (como $x$) amado por todo el mundo, entonces esto no era realmente otro $z$ pero solo la $x$.