Tengo un par de preguntas con respecto a algunos de los conceptos en un libro "no lineal de ecuaciones diferenciales parciales por Roubicek" estoy estudiando. El siguiente es el texto.
"Vamos a V ser un separables, reflexiva espacio de Banach. Deje Vk ser finito-dimensional en el subespacio. Desde V es finito dimensionales podemos identificar a Vk≅V∗k. Si es necesario, se puede volver a la norma finito dimensionales Vk a imponer una Hilbert estructura(Vk es entonces homeomórficos con un espacio Euclídeo).
Consideramos que la dualidad de asignación de J que es tomado como J(u):={f∈V∗;⟨f,u⟩=‖. Si V es una de Banach separable espacio y V^{*} es estrictamente convexa J es un único valor.
Entonces tenemos que J_{k}: V_{k} \rightarrow V_{k}^{*} es un único valor y lineal homeomorphism tal que \langle J_{k}u, u \rangle = \Vert u \Vert_{V_{k}}^{2}, \Vert J_{k}u \Vert_{V_{k}^{*}} = \Vert u \Vert_{V_{k}} "
Preguntas:
¿Qué significa exactamente "re-norma V_{k} a imponer una Hilbert estructura", ¿cómo lo harían?
¿Cómo se sigue que la dualidad de asignación de J_{k} es lineal homeomorphism?
Es la dualidad de asignación de J_{k} un surjective isometría o simplemente una isometría?
Cómo es exactamente V_{k} homeomórficos a un espacio Euclidiano?
Gracias por cualquier ayuda.