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Asignaciones de dualidad de espacios finito-dimensionales

Tengo un par de preguntas con respecto a algunos de los conceptos en un libro "no lineal de ecuaciones diferenciales parciales por Roubicek" estoy estudiando. El siguiente es el texto.

"Vamos a V ser un separables, reflexiva espacio de Banach. Deje Vk ser finito-dimensional en el subespacio. Desde V es finito dimensionales podemos identificar a VkVk. Si es necesario, se puede volver a la norma finito dimensionales Vk a imponer una Hilbert estructura(Vk es entonces homeomórficos con un espacio Euclídeo).

Consideramos que la dualidad de asignación de J que es tomado como J(u):={fV;f,u=. Si V es una de Banach separable espacio y V^{*} es estrictamente convexa J es un único valor.

Entonces tenemos que J_{k}: V_{k} \rightarrow V_{k}^{*} es un único valor y lineal homeomorphism tal que \langle J_{k}u, u \rangle = \Vert u \Vert_{V_{k}}^{2}, \Vert J_{k}u \Vert_{V_{k}^{*}} = \Vert u \Vert_{V_{k}} "

Preguntas:

  1. ¿Qué significa exactamente "re-norma V_{k} a imponer una Hilbert estructura", ¿cómo lo harían?

  2. ¿Cómo se sigue que la dualidad de asignación de J_{k} es lineal homeomorphism?

  3. Es la dualidad de asignación de J_{k} un surjective isometría o simplemente una isometría?

  4. Cómo es exactamente V_{k} homeomórficos a un espacio Euclidiano?

Gracias por cualquier ayuda.

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  1. Fijar una base v_1,\ldots,v_m \in V_k. A continuación, el mapa de \sum \alpha_jv_j\to\left(\sum |\alpha_j|^2\right)^{1/2} define una norma en V_k, y esta norma inducida por el producto interior \langle \sum \alpha_jv_j,\sum \beta_jv_j\rangle = \sum \alpha_j\overline{\beta_j}. En un número finito de dimensiones del espacio de todas las normas son equivalentes, por lo que el mapa de identidad se convierte en un homeomorphism si tenemos en cuenta el original de la norma en el dominio y esta nueva norma en el codominio. En la nueva norma, V_k es un espacio de Hilbert.

2/3. Se puede ver que \|J_ku\|_{V_k^*}=\|u\|_{V_k}; esto demuestra que J_k es una isometría. En particular, es inyectiva. Por lo J_k:V_k\to V_k^* es un inyectiva mapa entre dos finito-dimensional espacios de la misma dimensión, y así también es surjective. Esto significa que J_k es lineal homeomorphism.

4. Esto es igual a 1.

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