Asignaciones de dualidad de espacios finito-dimensionales

Question

Tengo un par de preguntas con respecto a algunos de los conceptos en un libro "no lineal de ecuaciones diferenciales parciales por Roubicek" estoy estudiando. El siguiente es el texto.

"Vamos a $V$ ser un separables, reflexiva espacio de Banach. Deje $V_{k}$ ser finito-dimensional en el subespacio. Desde $V$ es finito dimensionales podemos identificar a $V_{k} \cong V_{k}^{*}$. Si es necesario, se puede volver a la norma finito dimensionales $V_{k}$ a imponer una Hilbert estructura($V_{k}$ es entonces homeomórficos con un espacio Euclídeo).

Consideramos que la dualidad de asignación de $J$ que es tomado como $J(u):= \{f \in V^{*}; \langle f,u \rangle = \Vert u|\Vert^{2} = \Vert f \Vert_{*}^{2}\}$. Si $V$ es una de Banach separable espacio y $V^{*}$ es estrictamente convexa $J$ es un único valor.

Entonces tenemos que $J_{k}: V_{k} \rightarrow V_{k}^{*}$ es un único valor y lineal homeomorphism tal que $\langle J_{k}u, u \rangle = \Vert u \Vert_{V_{k}}^{2}$, $\Vert J_{k}u \Vert_{V_{k}^{*}} = \Vert u \Vert_{V_{k}}$ "

Preguntas:

1. ¿Qué significa exactamente "re-norma $V_{k}$ a imponer una Hilbert estructura", ¿cómo lo harían?

2. ¿Cómo se sigue que la dualidad de asignación de $J_{k}$ es lineal homeomorphism?

3. Es la dualidad de asignación de $J_{k}$ un surjective isometría o simplemente una isometría?

4. Cómo es exactamente $V_{k}$ homeomórficos a un espacio Euclidiano?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

1. Fijar una base $v_1,\ldots,v_m \in V_k$. A continuación, el mapa de $\sum \alpha_jv_j\to\left(\sum |\alpha_j|^2\right)^{1/2}$ define una norma en $V_k$, y esta norma inducida por el producto interior $\langle \sum \alpha_jv_j,\sum \beta_jv_j\rangle = \sum \alpha_j\overline{\beta_j}$. En un número finito de dimensiones del espacio de todas las normas son equivalentes, por lo que el mapa de identidad se convierte en un homeomorphism si tenemos en cuenta el original de la norma en el dominio y esta nueva norma en el codominio. En la nueva norma, $V_k$ es un espacio de Hilbert.

2/3. Se puede ver que $\|J_ku\|_{V_k^*}=\|u\|_{V_k}$; esto demuestra que $J_k$ es una isometría. En particular, es inyectiva. Por lo $J_k:V_k\to V_k^*$ es un inyectiva mapa entre dos finito-dimensional espacios de la misma dimensión, y así también es surjective. Esto significa que $J_k$ es lineal homeomorphism.

$4.$ Esto es igual a 1.