¿Esto es prueba de la desigualdad de Cauchy Schwarz circular o válida?

Question

Soy un estudiante universitario de aprendizaje de álgebra lineal en el mío propio, y estoy en la sección interna de los productos. Me di cuenta de una prueba de Cauchy Schwarz desigualdad para los vectores en mi libro, y parece que no contienen intuitiva de cosas acerca de ella mediante el uso de una función cuadrática - el libro dice incluso una inteligente, no intuitivo truco es necesaria. Pensé que podría ser una sencilla prueba del teorema, por lo que traté de construir una sencilla prueba de ello por mi cuenta, pero no estaba seguro de si esta prueba no era correcta. Esta es mi prueba a continuación.

Teorema: Si $u$ $v$ son vectores en un producto interior espacio vectorial $V$, luego

$$ \vec u\cdot\vec v\le\|\vec u\|\|\vec v\|.\tag1 $$

Prueba: Vamos a $V$ ser un producto interior espacio vectorial. Desde $(\vec u\cdot\vec u)^{1/2} = \|\vec u\|$, por definición, $V$ es también un espacio vectorial equipado con una norma.

Por uno de los axiomas para que el vector de normas para una normativa espacio vectorial,

$$ \|\vec u+\vec v\|\le\|\vec u\| + \|\vec v\|.\tag2 $$

Podemos cuadrado ambos lados de (2) para obtener

$$ \|\vec u+\vec v\|^2 \le (\|\vec u\| + \|\vec v\|)^2\tag3 $$

Ya que podemos expresar de la norma de la $\vec u$ en términos de interior de los productos, podemos cuadrado ambos lados de (3) y se amplía la mano izquierda en el interior de los productos y la mano derecha como un binomio de expansión.

\begin{align} \|\vec u+\vec v\|^2 &= (\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v) = \vec u\cdot(\vec u+\vec v) + \vec v\cdot(\vec u+\vec v) =\\ &= \|\vec u\|^2 + \vec u\cdot\vec v + \vec u\cdot\vec v + \|\vec v\|^2 =\|\vec u\|^2 + \|\vec v\|^2 + 2[\vec u\cdot\vec v]. \end{align} El lado derecho se expande como $$ (\|\vec u\| + \|\vec v\|)(\|\vec u\| + \|\vec v\|) = \|\vec u\|^2 + \|\vec v\|^2 + 2\|\vec u\|\|\vec v\|. $$

Ahora podemos restar los términos semejantes de ambos lados de la ecuación (3), y lograr que

$$2[\vec u\cdot\vec v] \le 2\|\vec u\|\|\vec v\|,\quad\text{o}\quad \vec u\cdot\vec v \le \|\vec u\|\|\vec v\|.\qquad \text{QED} $$

Es esto una prueba de circular, o es válido? Gracias.

Answer 1

Es circular.

Mira a tu segunda frase.

Desde $(\vec u\cdot\vec u)^{1/2} = \|\vec u\|$, por definición, $V$ es también un espacio vectorial equipado con una norma.

$(\vec u\cdot\vec u)^{1/2} = \|\vec u\|$ define lo que el símbolo $\|\vec u\|$ medios. Este símbolo se usa comúnmente para una norma, pero la definición por sí sola no hace que uno. Usted tiene que demostrar que cumple con la definición de la palabra "norma". No lo han hecho, por lo que su prueba es, sin duda incompleta. Y demostrando que $\|\vec u\|$, como se definió anteriormente, satisface la desigualdad de triángulo, generalmente se realiza mediante el uso de Cauchy-Schwarz. De ahí la circularidad.

Answer 2

Su Álgebra muestra la equivalencia entre

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz
• la desigualdad de triángulo para la distancia definida como $|XY| = \sqrt{(X-Y,X-Y)}$

If o desigualdad sostiene, así el otro.

Demostrando que al menos uno de ellos tienen no es tratado por el cálculo en la pregunta.