Encontrar el límite de $\frac{1-\cos(2x)}{1-\cos(3x)}$ para $x \to 0$

Question

Como $x$ va a $0$ ¿Cuál es el límite de $$\frac{1-\cos(2x)}{1-\cos(3x)}$$

Gracias.

Answer 1

Poniendo $x=2y,$

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos(2x)}{1-\cos(3x)}$$

$$=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{1-\cos4y}{1-\cos6y}$$

$$=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{2\sin^22y}{2\sin^23y} \text{ as }\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$$

$$=\lim_{y \rightarrow 0} \frac{4\cdot\left(\frac{\sin 2y}{2y}\right)^2}{9\cdot \left(\frac{\sin 3y}{3y}\right)^2}$$

$$=\frac49\text{ as }\lim_{h\to0}\frac{\sin h}h=1$$

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Alternativamente,

$$\frac{1-\cos2x}{1-\cos3x}=\left(\frac{\sin2x}{\sin3x}\right)^2\cdot\left(\frac{1+\cos3x}{1+\cos2x}\right)$$

Ahora, $\lim_{x\to0}\cos ax=1$ para un número finito de $a$

$$\implies \lim_{x\to0}\left(\frac{1+\cos3x}{1+\cos2x}\right)=\frac{1+1}{1+1}=1$$

y $$\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin2x}{\sin3x}\right)=\frac23\cdot \frac{\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}}{\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}}=\frac23$$

Answer 2

Una forma de continuar con su idea es notar que

$$\lim_{x \to 0} \frac{2-\color{red}2 cos(x)^2}{1+3cos(x)-4cos(x)^3} $$

es igual a

$$\lim_{y \to 1^-} \frac{2- \color{red}2 y^2}{1+3y-4y^3} $$

después de hacer el cambio de variable $y = \cos x$ . (Con la práctica, podrías aprender a utilizar las ideas que esto sugiere sin haciendo el cambio de variable)

(edición: números rojos para indicar las correcciones de la expresión original)

Answer 3

Utiliza la regla de L'Hopital. $$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos(2x)}{1-\cos(3x)}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin(2x)}{3\sin(3x)}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{4x}{9x}=\frac49$$

Answer 4

Una forma de hacerlo es ampliando en serie Maclaurin: $$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 2x}{1- \cos 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{1-1 +\frac{4x^2}{2} - O(x^4)}{1- 1 + \frac{9x^2}{2} - O(x^4)} = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{2}}=\frac{4}{9} $$