¿Es cierto que la ecuación de Schrödinger sólo se aplica a las partículas de espín 1/2?

Question

Hace poco me encontré con una afirmación de que el Ecuación de Schrödinger sólo describe partículas de espín 1/2.

¿Es esto cierto?

Me doy cuenta de que la pregunta puede estar mal planteada ya que algunos consideran que la ecuación general de Schrödinger es $$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle = H|\psi\rangle $$

que es tautológico si se permite un hamiltoniano arbitrario. Supongo que lo que se entiende por "ecuación de Schrödinger" es esencialmente una versión cuantizada de la relación newtoniana $T = \frac{p^2}{2m}$ .

Sé que la ecuación de Dirac puede reducirse a esa forma si tomamos el límite no relativista y suponemos que no hay campo magnético, y además la ecuación de Schrödinger sí predice el espectro de líneas gruesas del hidrógeno. Así que la afirmación de que la ecuación de Schrödinger describe (aproximadamente) las partículas de espín 1/2 parece estar justificada.

Ahora bien, a menudo veo que se afirma que la ecuación de Schrödinger es esencialmente el límite no relativista de la ecuación de Klein--Gordon, que Schrödinger publicó en lugar de la ecuación de Klein--Gordon porque esta última predecía incorrectamente la estructura fina del átomo de hidrógeno. Entonces, ¿no es cierto que la ecuación de Schrödinger también es válida como aproximación no relativista para el comportamiento de las partículas de espín 0?

Para el espín 1, obviamente la ecuación de Schrödinger no puede describir el fotón, que es siempre relativista. Sin embargo, me parece incorrecto que la ecuación de Schrödinger no pueda describir, por ejemplo, un deuterón.

Answer 1

Siguiendo la sugerencia de Rob, he decidido convertir esto en una respuesta.

(Adenda: He estado meditando sobre este mismo tema durante algún tiempo, y he sido dirigido a alguna literatura interesante referenciada en la página web de Streater. Según el comentario de Rococo, he actualizado mi respuesta, pero he conservado la versión antigua para la posteridad).

La respuesta

Para hablar de "partículas de espín-1/2", necesitamos el teorema de la espín-estadística.

El teorema de la espín-estadística no es válido para la QM no relativista. O, más exactamente, el teorema "ingenuo" de la espín-estadística no se cumple, y si intentamos inventar uno... no se parece en nada a lo que cabría esperar.

En resumen, la razón es la siguiente: el teorema de la espín-estadística depende críticamente de la microlocalidad (es decir, el conmutador de los operadores conjugados separados en el espacio desaparece idénticamente). Esta propiedad es válida en términos relativistas, pero no en términos no relativistas. (Las demás pruebas tampoco se cumplen, ya que falla la invariancia de Lorentz).

Pero hay un truco para evitarlo. Basta con tomar una partícula relativista de espín 1/2, y luego tomar el límite no relativista.

Pero, ¿se cumple la ecuación de Schrodinger?

Ahora bien, la pregunta formulada originalmente es: ¿se cumple la ecuación de Schrodinger para partículas de espín 1/2? Para hablar de partículas de espín 1/2, en realidad estamos trabajando con representaciones del grupo de Lorentz. Una partícula de espín-1/2 no relativista se obtiene tomando el límite no relativista (es decir, el $c\to\infty$ límite) de la ecuación de Dirac, que es la Ecuación de Pauli :

$$\left[ \frac{1}{2m}(\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - q \mathbf{A}))^2 + q \phi \right] |\psi\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle$$

donde $\boldsymbol{\sigma}$ son las matrices de Pauli, $\mathbf{A}$ un potencial vectorial externo, $\phi$ un potencial eléctrico externo, y $q$ la carga eléctrica de la partícula. Pero observe que cuando "apagamos" el electromagnetismo (poniendo $\mathbf{A}=\phi=q=0$ ) recuperamos

$$\left[ \frac{1}{2m}(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p})^2 \right] |\psi\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle$$

Uh, dejo como ejercicio para el lector demostrar que el lado izquierdo de esta ecuación es $(1/2m) \mathbf{p}^{2}\otimes\boldsymbol{1}_{2}$ donde $\boldsymbol{1}_{2}$ es la matriz de identidad de 2 por 2.

Referencias

Para una revisión más exhaustiva de este asunto, puedo remitir al lector a:

• A.S. Wightman, "La conexión spin-estadística: Algunas observaciones pedagógicas en respuesta a la pregunta de Neuenschwander" Eprint 7 páginas
• R. E. Allen, A. R. Mondragón, "No spin-statistics connection in nonrelativistic quantum mechanics". Eprint arXiv:quant-ph/0304088 , 2 páginas

La (antigua) respuesta

La ecuación de Schrodinger "vainilla" (de la QM no relativista) no describen una partícula de espín 1/2.

La simple y vieja ecuación de Schrodinger describe una situación no relativista campo spin-0 .

Estudios de caso

Si pretendemos que la función de onda es un campo clásico (lo que ocurre todo el tiempo durante el procedimiento de "segunda cuantificación"), entonces resulta que describe un spin-0 campo. Véase el artículo de Brian Hatfield Teoría del campo cuántico de las partículas puntuales y las cuerdas , específicamente el capítulo 2 --- sobre la "Segunda Cuantización".

Pero espera, ¡hay más! Si consideramos otros campos no relativistas e intentamos cuantificar, por ejemplo, la teoría de la gravedad de Newton Cartan, ¡también obtenemos el bosón de espín 0! Para este resultado (específico de la cuantificación de la gravedad newtoniana), véase:

• El "Sector Exactamente Soluble de la Gravedad Cuántica" de Joy Christian. Phys.Rev.D 56 (1997) 4844-4877 , eprint arXiv:gr-qc/9701013

La Razón

Bien, esto no debería sorprendernos, ya que la ecuación de Schrodinger es el límite no relativista de la ecuación de Klein-Gordon. ¡Y debemos recordar que la ecuación de Klein-Gordon describe bosones de espín 0!

El límite no relativista $c\to\infty$ no debe afectan al espín de las partículas implicadas. (¡Por eso el modelo de Pauli es el límite no relativista de la ecuación de Dirac!)

Answer 2

Schrödinger simplemente no tiene en cuenta el espín. Para el espín 1/2, se necesita la ecuación de Pauli o de Dirac. Una partícula sin espín, es decir, de espín cero, como el bosón de Higgs o los piones (ignorando su estructura interna de quarks/gluones), se describe mediante la ecuación de onda de Klein-Gordon.

He leído una afirmación que, en la medida en que describe una partícula con espín, la de Schrödinger es para una partícula atrapada en un $S_z$ eigenestado. No estoy seguro de si esto se sostiene con un análisis más detallado, y no recuerdo dónde lo leí, así que dejo que otros lo critiquen.

Answer 3

Posiblemente sea una referencia a la ecuación de Pauli o ecuación de Schrödinger-Pauli: la formulación de la ecuación de Schrödinger para partículas de espín-½, que tiene en cuenta la interacción del espín de la partícula con un campo electromagnético externo. Es el límite no relativista de la ecuación de Dirac y puede utilizarse cuando las partículas se mueven a velocidades muy inferiores a la de la luz, de modo que pueden despreciarse los efectos relativistas. (wiki , ecuación de Pauli)

Answer 4

Es cierto. La ecuación de Schrodinger es una ecuación diferencial cuyas soluciones son funciones de onda de partículas de espín 1/2, y sólo de partículas de espín 1/2. La cuestión es bastante profunda. La ecuación de Schrodinger para una partícula de espín cero (que modela la energía misma), o una partícula de espín uno (es decir, un fotón) es similar, pero no tiene el factor 1/2 en la "constante de difusión". En este sentido, $1/2$ es la única diferencia. La función de onda elemental para las partículas de espín cero y espín uno -cuando se utilizan unidades naturales- implica conceptos de masa, energía y momento que garantizan E = p = m. Para las partículas de espín 1/2, tenemos E = p = 2m, porque ahora tenemos tanto el momento lineal como el angular (y ambos utilizan el factor masa, con el teorema de equiparación que explica por qué la energía se divide por igual entre ambos). Para más detalles, ver esto . Es algo especulativo, pero cierto.