Ecuación diofántica cuadrática en tres variables

Question

¿Cómo se podía determinar las soluciones de la siguiente ecuación cuadrática ecuación Diophantine en tres variables:

$$x^2 + n^2y^2 \pm n^2y = z^2$$

donde n es un número entero y $x$, $y$, y $z$ son desconocidos enteros positivos a resolver. Lo ideal sería una solución paramétrica para $x$, $y$, y $z$.

[Nota de que la expresión de $y^2 + y$ debe ser un entero de la serie {2, 6, 12, 20, 30, 42 ...} y por lo que puede ser escrito como $y^2 + y$ o $y^2 - y$ (por ejemplo, 12 = $3^2 + 3$ y 12 = $4^2 - 4$). Así que he escrito este como +/- en la ecuación anterior.]

Gracias,

Answer 1

Considerando esto como una ecuación cuadrática en $y$, es suficiente (y necesario) que

$n^4 - 4n^2(x^2-z^2)$ es un cuadrado perfecto.

es decir,

$n^2 - 4(x^2 - z^2)$ es un cuadrado perfecto, decir $q^2$.

La reescritura nos da

$(n-q)(n+q) = 4 (x^2 - z^2)$

Si $n=2k$ es incluso, a continuación, $q$ necesita ser incluso demasiado (decir $2m$) y

$(k-m)(k+m) = (x-z)(x+z)$

Si $n=2k+1$ es impar, entonces $q$ tiene que ser impar (por decir $2m+1$) y

$(k-m)(k+m+1) = (x-z)(x+z)$

Por lo tanto usted puede elegir cualquier $m$, y tratar de factorizar el lado izquierdo de arriba (el derecho de elegir uno dependiendo de la paridad de $n$) en los dos términos de la misma paridad.

Answer 2

Consideraremos la ecuación más general:

$X^2+qY^2+qY=Z^2$

Entonces, si utilizamos las soluciones de la ecuación de Pell: $p^2-(q+1)s^2=1$

Soluciones se pueden escribir en este ideal:

$X=(-p^2+2ps+(q-1)s^2)L+qs^2$

$Y=2s(p-s)L+qs^2$

$Z=(p^2-2ps+(q+1)s^2)L+qps$

Y más:

$X=(p^2+2ps-(q-1)s^2)L-p^2-2ps-s^2$

$Y=2s(p+s)L-p^2-2ps-s^2$

$Z=(p^2+2ps+(q+1)s^2)L-p^2-(q+2)ps-(q+1)s^2$

$L$ - entero y nos dado.

Answer 3

Para el caso cuando la ecuación: $X^2+qY^2+qY=Z^2$

factor $q$ - no es un cuadrado, entonces soluciones pueden yrazit usando la ecuación de Pell: $p^2-qs^2=1$

Entonces no hay otra solución:

$X=X$

$Y=2psX-p^2$

$Z=Xp^2-qps+qXs^2$

Answer 4

Este es un buen problema ya que requiere escribir las representaciones paramétricas (diofánticas) de las variables.

Este método puede ampliarse a números variables; una manera de que este resultado es decir hay un algoritmo para construir un sistema cuadrático variable n y si esta construcción ajusta a nuestra ecuación entonces las soluciones son leer trivial.

Explicaré esto más adelante.