Demostrar que una función es invertible

Question

Me encontré con este problema y no estoy seguro de cómo probarlo.

Demuestre que si $ f\circ f \circ g\circ g \circ f\circ f $ es invertible entonces $ g $ es invertible.

No estoy seguro de si es correcto decir que $f$ es invertible porque es la función más a la izquierda y luego demostrar que $g$ es invertible.

Answer 1

Sea $h$ sea un inverso de $f\circ f \circ g\circ g \circ f\circ f$ .

$id=(f\circ f \circ g\circ g \circ f\circ f)\circ h=f\circ (f \circ g\circ g \circ f\circ f\circ h)$ implica que $f$ es suryectiva.

$id=h\circ (f\circ f \circ g\circ g \circ f\circ f)=(h\circ f\circ f \circ g\circ g \circ f)\circ f$ implica que $f$ es inyectiva.

Así, $f$ es una biyección y por tanto tiene un inverso $f'$ .

Entonces $g\circ g = f' \circ f' \circ (f\circ f \circ g\circ g \circ f\circ f) \circ f' \circ f'$ .

Esto implica que $g\circ g$ es invertible, porque es la composición de funciones invertibles.

Por fin, $g$ es invertible repitiendo el argumento utilizado para $f$ .

Más concretamente, dejemos que $k$ sea un inverso de $g\circ g$ . Entonces:

$id=(g\circ g) \circ k= g\circ (g \circ k)$ implica que $g$ es suryectiva.

$id=k \circ(g\circ g)=(k \circ g)\circ g$ implica que $g$ es inyectiva.

Así, $g$ es una biyección y, por tanto, invertible.

En términos más generales,

Si $F \circ G \circ F$ es invertible, entonces $F$ y $G$ son invertibles.

Aplique esto una vez a $F=f \circ f$ y $G=g\circ g$ y conseguir que $g\circ g$ es invertible.

Aplíquelo de nuevo a $F=g$ y $G=id$ y conseguir que $g$ es invertible.

Answer 2

• 1) $r$ es por definición un retracción si $r\circ s=\text{id}$ para algunos $s$ .

• 2) $s$ es por definición un sección si $r\circ s=\text{id}$ para algunos $r$ .

• 3) Si $h$ es a la vez una retracción y una sección, entonces $h$ es invertible: dejemos $h\circ s$ y $r\circ h$ ser identidades. Entonces $r=r\circ h\circ s=s$ demostrando que $r=s$ sirve como inverso de $h$ .

• 4) Si $r\circ s$ es invertible y $h$ es su inversa, entonces $r\circ\left(s\circ h\right)=\text{id}$ y $\left(h\circ r\right)\circ s=\text{id}$ demostrando que $r$ es una retractación y $s$ es una sección.

El hecho de que $f\circ (f \circ g\circ g \circ f\circ f)$ es invertible implica que $f$ es una retracción (por 4).

El hecho de que $(f\circ f \circ g\circ g \circ f)\circ f$ es invertible implica que $f$ es una sección (por 4).

Entonces $g\circ g=f^{-1}\circ f^{-1}\circ f\circ f\circ g\circ g\circ f\circ f^{-1}\circ f^{-1}$ es invertible (por 3) por lo tanto $g$ es una retracción y una sección (por 4).

Entonces $g$ es invertible (por 3).