Decir que un vector $x=(x_1,x_2, \ldots ,x_n)\in {\mathbb R}^n$ es no decreciente si $x_1 \leq x_2\leq \ldots \leq x_n$. Puede alguien mostrar o encontrar un contraejemplo a la siguiente : si no decreciente tres vectores son mutuamente ortogonales, uno de ellos es el vector cero.
Esta pregunta es el "discreto" la versión de que los últimos pregunta.
Lo que he conseguido hasta ahora : puedo mostrar el resultado cuando uno de los vectores tiene suma $0$. De hecho, el siguiente más fuerte resultado se da en este caso :
Teorema Si dos no decreciente vectores $u$ $v$ son ortogonales y la "integral" (la suma de las coordenadas) de $u$ es cero, entonces cualquiera de las $u$ es el vector cero o $v$ es "constante" (todos sus coordenadas son iguales).
Prueba Supongamos que $u=(u_1,u_2, \ldots ,u_n)$ es ortogonal a $v=(v_1,v_2, \ldots, v_n)$ y que la suma de $u$ $0$ pero $u$ no es el cero vector. El conjunto $\Omega=\lbrace i | u_i \lt 0\rbrace$ es no vacío, llame a $r$ su elemento más grande. Entonces podemos descomponer $u=(-g_r,-g_{r-1}, \ldots ,-g_2,-g_1,0, \ldots, 0, h_1,h_2, \ldots ,h_s)$ donde $s \leq n-r$ $0 \lt g_1 \leq g_2 \leq \ldots \leq g_r$ y $0 \lt h_1 \leq h_2 \leq \ldots \leq h_s$, e $\sum_{i=1}^r g_i=\sum_{j=1}^r h_j$ (ya que la integral de $u$ es cero) ; llame a $S$ este valor común. Entonces, la ortogonalidad de $u$ $v$ implica que
$$ Sv_r=\sum_{i=1}^r g_i v_r \geq \sum_{i=1}^r g_i v_i = \sum_{j=1}^s h_j v_{n+1-s+j} \geq \sum_{j=1}^s h_j v_{n+1-s}=Sv_{n+1-s} $$
Ahora $v_r \leq v_{n+1-s}$ porque $v$ es no decreciente, por lo que todas las desigualdades anteriores se deben igualdades y $v$ es de hecho constante.
