Definición de predicados de la verdad en la teoría de conjuntos

Question

En este post del blog de J. D. Hamkins muestra que la KM de la teoría de conjuntos puede definir la verdad de predicado de primer orden de la teoría de conjuntos, lo que significa, creo, que hay un segundo orden de la definición de dicho predicado y KM demuestra que de hecho es lo que queremos que sea.

El autor afirma que es fácil de definir parcial de la verdad de los predicados para todos los $\Sigma_n$, pero es de ninguna manera claro para mí cómo la construcción de tales trabajar en ZFC. Incluso entonces, para definir la plena verdad del predicado, necesitamos una manera de definir estos predicados de segundo orden idioma con el uniforme de la complejidad, de modo que podemos combinar.

He intentado buscar este tipo de construcciones, sin embargo yo no estaba realmente exitosa. Mi pregunta es entonces:

¿Cómo podemos definir la plena verdad del predicado de segundo orden de la teoría de conjuntos?

He tratado de definir el predicado mediante una clase de testigos cuando la adición de cuantificadores existencial y similares para la construcción existencial, pero no he podido hacer que funcione.

Answer 1

Digamos que una fórmula $\Phi(x, y)$ es una satisfacción predicado por $\mathcal L_\in$ si se satisface la Tarski cláusulas; es decir, si:

($\in$) $\Phi(``x_i\in x_j", a) \leftrightarrow a(i)\in a(j)$

($=$) $\Phi(``x_i = x_j", a) \leftrightarrow a(i) = a(j)$

($\wedge$) $\Phi(``\phi \wedge \psi", a) \leftrightarrow \Phi(``\phi", a) \wedge \Phi(``\psi", a)$

($\neg$) $\Phi(``\neg\phi", a)\leftrightarrow \neg\Phi(``\phi", a)$

($\exists$) $\Phi(``\exists x_i\phi", a)\leftrightarrow \exists a'=_{i} a\Phi(``\phi", a')$

donde $\phi,\psi\in\mathcal L_\in$, $a$ es una función con dominio de $\omega$, e $a=_{i} a'$ significa que $a$ $a'$ está de acuerdo, excepto posiblemente en a $i$. Suponemos que $\Phi(x, y)$ sólo se aplica a los/fórmula de asignación de pares.

Entonces, queremos mostrar que no es un predicado de segundo orden de la teoría de conjuntos. Me gusta hacerlo en dos pasos. En primer lugar, yo defino $X$ a ser una satisfacción clase de $\phi\in\mathcal L_\in$ si $X$ satisface la Tarski cláusulas para subformulas de $\phi$ y puedo demostrar por inducción que cualquiera de los dos satisfacción de clases para $\phi$ son co-extensivos. Segundo, puedo demostrar por inducción que cada fórmula en $\mathcal L_\in$ tiene una satisfacción de clase. Uno puede entonces concluir que el $\Phi(x, y) =$ "hay una satisfacción clase $X$ $x$ tal que $\langle x, y\rangle\in X$" es una satisfacción predicado por $\mathcal L_\in$.

He aquí cómo el segundo de la inducción va de la $\exists$ de los casos. Supongamos que $X$ es una satisfacción clase de $\phi$. Ahora por predicativo comprensión, se definen $Y = X \cup \{\langle ``\exists x_i\phi", a\rangle: \exists a'=_{i} a(\langle ``\phi",a'\rangle\in X)\}$. Desde $X$ es una satisfacción clase de $\phi$, es fácil ver que $Y$ es una satisfacción clase de $\exists x_i\phi$, según se requiera.

(Podría ser interesante notar que este argumento no requiere toda la potencia de MK. En particular, sólo utiliza predicativo instancias de comprensión. Lo que se requiere más allá de NBG es la separación de $\Sigma^1_1$ fórmulas (para ejecutar las inducciones en los dos pasos). Pero esto es una suposición acerca de los conjuntos, no se trata de las clases. En otras palabras, el argumento será a través de incluso si usted piensa que hay relativamente pocas clases, siempre y cuando usted piensa que establece satisfacer la separación de $\Sigma^1_1$ fórmulas.)