Por el teorema del punto fijo de Banach, si una métrica sobre un espacio métrico $X$ es tal que $d(f(x),f(y))\leq K d(x,y)$ para $K\in (0,1)$ entonces $f$ tiene un único punto fijo.
¿Hay algún ejemplo en el que $d(f(x),f(y))\leq K d(x,y)$ no tiene un punto fijo si $K=1$ ?
¿Y si $X$ ¿es un espacio compacto?
Para $X=\mathbb{R}$ , $d$ la métrica habitual, y $f(x)=x+1$ tenemos $d(f(x),f(y)) = |(x+1)-(y+1)| = |x-y| = d(x,y)$ por lo que satisface la desigualdad deseada con $K=1$ pero $f$ claramente no tiene punto fijo.
Para un ejemplo compacto, tomemos $X=S^1$ con la distancia heredada al incrustarla en $\mathbb{R}^2$ como el círculo unitario, y $f$ una rotación que no es por un ángulo que es un múltiplo de $2\pi$ . De nuevo, $d(f(x),f(y))=d(x,y)$ para todos $x$ y $y$ pero $f$ no tiene puntos fijos.
Si $K=1$ Incluso puede tener la condición más fuerte $d(f(x),f(y))<Kd(x,y)$ sin tener un punto fijo (siempre que el espacio no sea compacto). Por ejemplo, dejemos que el espacio sea la recta real con la métrica habitual, y que $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ .
Nota posterior: Este párrafo siguiente tiene problemas, pero sospecho que se puede arreglar añadiendo algo.....
Si el espacio es compacto, entonces $d(f(x),f(y))/d(x,y)$ debe alcanzar su valor máximo $C$ que debe ser inferior a $1$ . Entonces tenemos $d(f(x),f(y))\leq Cd(x,y)$ con $0<C<1$ por lo que tendrías la conclusión habitual de que los mapeos de contracción tienen un punto fijo único, lo cual es atractivo, si es un espacio métrico completo.
La explicación aquí es falsa porque $d(f(x),f(y))/d(x,y)$ no está definida en la diagonal (donde $x = y$ ) y el complemento de la diagonal en $C \times C$ no es compacto, por lo que la justificación de que se alcance el máximo es errónea. De hecho en un espacio compacto se puede tener $d(f(x),f(y)) < d(x,y)$ sin $f$ siendo una contracción en un nbd. del punto fijo. Por ejemplo, dejemos que $f(x) = x/(1+x)$ con $C = [0,1]$ . El punto fijo es $x = 0$ y $|f(x)-f(y)|/|x-y|$ es arb. cerca de 1 cuando $x$ y $y$ son suficientemente cercanas a 0. Tampoco $f$ ni ningún iterado de $f$ es una contracción en cualquier vecindad de 0.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
1 votos
$X$ debe ser completa
2 votos
Para ver que la conclusión no siempre es cierta cuando el espacio es completo, dejemos que el espacio sea la línea real menos el singleton de $0$ y que $f(x)=x/2$ .
0 votos
No creo que ese espacio esté completo Michael: la secuencia $( \frac{1}{n})$ es Cauchy sin límite en el espacio dado.