¿$2$-dimensional subbundle de paquete de la tangente de cerrado $3$-variedad integrable si y sólo si $\alpha \wedge d\alpha = 0$?

Question

Deje $M$ ser un cerrado $3$-colector, y deje $\xi$ $2$- dimensiones subbundle de $TM$. A partir de aquí y aquí, yo sé que no es un lugar cero $1$forma $\alpha$ $M$ $\alpha(X) = 0$ para cualquier campo vectorial $X$ que es una sección de $\xi$, y que cualquiera de los dos $1$formas de $\alpha$, $\alpha'$ con esta propiedad satisfacer $\alpha = f\alpha'$ para algunos liso ningún lugar la función cero $f$.

Mi pregunta ahora es, ¿tenemos que $\xi$ es integrable, es decir, tangente a las hojas de una foliación $\mathcal{F}$, si y sólo si $\alpha \wedge d\alpha = 0$ cualquier $\alpha$ como el anterior?

Edit. Me preguntaba si alguien podría proporcionar una prueba directa en este caso? El pleno del teorema de Frobenius parece un poco overpowered...

Answer 1

El a su pregunta es sí como la distribución del plano 2 es orientable. El teorema más general (el $n$-dimensional análogo) se llama el Teorema de Frobenius. Es muy fácil encontrar muchas pruebas de este teorema en línea, y uno está en Lee Introducción a colectores de Lisa.

Answer 2

Es, muy precisamente, el teorema de Frobenius. Si desea probar el teorema de Frobenius en el caso especial de codimension 1 de distribución en una 3-variedad, siento libre.

Supongamos $\xi = \ker \alpha$. Lo que, precisamente, es $(\alpha \wedge d\alpha)(X,Y,Z)$?

Vamos a empezar con la dirección de avance. Suponga $\xi$ es integrable. También involutiva, y si $\alpha(X)$ $\alpha(Y)$ son cero, entonces también lo es $\alpha([X,Y])$. Ahora si $X,Y,Z$ locales marco con $\alpha(X)=\alpha(Y) = 0$ (y podemos muy bien suponer $\alpha(Z) = 1$), a continuación,\begin{align}(\alpha \wedge d\alpha)(X,Y,Z) &= \alpha(X)d\alpha(Y,Z) + \alpha(Y)d\alpha(Z,X)+\alpha(Z)d\alpha(X,Y)\\ &= d\alpha(X,Y) = 0.\end {align} Porque $X,Y,Z$ era un cuadro, podemos ver que $\alpha \wedge d\alpha$ a nivel mundial es cero. Lo contrario es esencialmente la misma; deje $X,Y,Z$ ser como el anterior, y nuestro cálculo se mantiene hasta $d\alpha(X,Y) = 0$; en cambio, tenemos $d\alpha(X,Y) = -\alpha([X,Y])$; pero se supone que $\alpha \wedge d\alpha = 0$, lo $\alpha([X,Y])$ debe ser cero, y por lo tanto la distribución es involutiva, y por Frobenius es integrable.