¿Cuál es la diferencia entre las soluciones de la ecuación de difusión con un coeficiente de difusión imaginario y las de la ecuación de onda?

Question

El ecuación de difusión de la forma:

$$ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = D\frac{\partial ^2u(x,t)}{\partial x^2} $$

Si se elige un valor real para $D$ Las soluciones suelen decaer con el tiempo.

Sin embargo, en algunas situaciones de la física, sobre todo en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, se ve una ecuación de forma similar a la ecuación de difusión, pero con un coeficiente de difusión complejo, es decir $D=i\,D'$ .

Esto hace que las soluciones de la ecuación oscilen en lugar de decaer con el tiempo porque

$$ \exp(-Dt)=\exp(-iD't) $$

Por eso la ecuación de Schrödinger tiene soluciones ondulatorias como las de la ecuación de onda.

Parece que se puede transformar la ecuación de difusión en una ecuación que pueda sustituir a la ecuación de onda ya que las soluciones son las mismas.

Esto no tiene mucho sentido intuitivo para mí, así que creo que mi comprensión de las soluciones de la ecuación de onda y difusión no es completa. ¿Cuál es la diferencia, si la hay, entre el conjunto de soluciones de la ecuación de difusión con un coeficiente de difusión imaginario y el de la ecuación de onda?

Answer 1

Tanto la ecuación de Schrödinger como la de las ondas tienen soluciones de ondas planas, así es. La diferencia es la relación de dispersión, que es cuadrática para la ecuación de Schrödinger y lineal para la ecuación de onda. Esto es importante, porque la ecuación de Schrödinger fue diseñada para reproducir correctamente la relación de dispersión cuadrática que se observó para los electrones.

(Se puede demostrar esto transformando de Fourier ambas ecuaciones tanto en el espacio como en el tiempo y resolviendo para $\omega(k)$ .)

Answer 2

Parece que se puede transformar la ecuación de difusión en una ecuación que pueda sustituir a la ecuación de onda ya que las soluciones son las mismas.

Creo que sustituir una constante real por una imaginaria es engañosamente sencillo: aunque las ecuaciones y las soluciones se escriban igual, codifican información diferente. Esto se debe a que ahora se trabaja en dos dimensiones.

Si tienes una ecuación de la forma $$ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = iD\frac{\partial ^2u(x,t)}{\partial x^2} $$

A continuación, escriba $u(x,t) = q(x,t) +ip(x,t)$ donde $q$ y $p$ se valoran realmente, se obtiene $$ \frac{\partial q(x,t)}{\partial t}+i\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = iD\frac{\partial ^2q(x,t)}{\partial x^2} -D\frac{\partial ^2p(x,t)}{\partial x^2} $$ Y así un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas: $$ \frac{\partial q(x,t)}{\partial t} = -D\frac{\partial ^2p(x,t)}{\partial x^2} $$ $$ \frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = D\frac{\partial ^2q(x,t)}{\partial x^2} $$

Como ves, el cambio aparentemente inocente te lleva en realidad a un conjunto de ecuaciones bastante diferente.

Estas ecuaciones tampoco son del todo iguales a la ecuación de onda, en particular, como ya se mencionó en otra respuesta, se obtiene una relación de dispersión diferente. Tomando una derivada temporal de una de las ecuaciones se llega a: $$ \frac{\partial^2 q(x,t)}{\partial t^2} = -D^2\frac{\partial ^4q(x,t)}{\partial x^4} $$ De modo que la frecuencia es proporcional al cuadrado del número de onda.

Answer 3

No creo que su comprensión sea fundamentalmente errónea. Hay muchas maneras de ver el parecido entre la ecuación de calor/difusión y la ecuación de Schrödinger, una de las cuales es la interpretación estocástica mencionada en una de las respuestas a la pregunta citada como posible duplicado. Según wikipedia El propio Erwin Schrödinger era consciente de ello. Aquí es una pregunta de mathoverflow que pone esto en un contexto más matemático.

Sin embargo, en los casos más comunes, la correspondencia entre las soluciones comunes de ambas ecuaciones no puede aprovecharse fácilmente. Esto se debe a que los problemas de EDP deben formularse con condiciones iniciales/de contorno, y las condiciones de contorno que se suelen utilizar para la ecuación de calor/difusión y la de Schrödinger son diferentes. Un problema con la ecuación del calor suele especificar los datos iniciales en todos los puntos del espacio, con condiciones de contorno de Dirichlet o Neumann, y nos interesa la evolución temporal de los datos iniciales. En la ecuación de Schrödinger en el espacio libre, podríamos, por supuesto, especificar una función de onda inicial y observar su evolución, lo que lo haría equivalente al problema de calor anterior. Sin embargo, lo más frecuente es que veamos la dependencia temporal separada, y queramos averiguar la dependencia espacial de la solución dada una condición de contorno, y normalmente la única condición de contorno significativa es una BC de Dirichlet homogénea. Además, la ecuación de Schrödinger con un potencial no nulo es más difícil de relacionar con el problema del calor.