La transformación diagonalizable restringida a un subespacio invariante es diagonalizable

Question

Supongamos que $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ y $A$ es una transformación lineal en $V$ que es diagonalizable. Es decir, existe una base de $V$ formado por los vectores propios de $A$ . Si $W\subseteq V$ es un subespacio invariante de $A$ (así $A(W)\subseteq W$ ), demuestre que $A|_W$ también es diagonalizable.

Intenté suponer $A$ tiene valores propios distintos $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ con $V_i=\{v\in V: Av=\lambda_i v\}$ . Entonces podemos escribir $V=V_1\oplus\cdots\oplus V_m,$ pero no estoy seguro de que sea cierto que

$$W=(W\cap V_1)\oplus\cdots\oplus (W\cap V_m),.$$

Si es cierto, entonces hemos terminado, pero puede estar equivocado.

Answer 1

Este teorema es cierto para cualquier $V$ (sobre un campo arbitrario $\mathbb{F}$ ).

Podemos demostrar lo siguiente

Lema. Si $v_1 + v_2 + \cdots + v_k \in W$ y cada uno de los $v_i$ son vectores propios de $A$ correspondientes a valores propios distintos, entonces cada uno de los $v_i$ mienten en $W$ .

Prueba. Proceda por inducción. Si $k = 1$ no hay nada que demostrar. Por lo demás, dejemos $w = v_1 + \cdots + v_k$ y $\lambda_i$ sea el valor propio correspondiente a $v_i$ . Entonces:

$$Aw - \lambda_1w = (\lambda_2 - \lambda_1)v_2 + \cdots + (\lambda_k - \lambda_1)v_k \in W.$$

Por hipótesis de inducción, $(\lambda_i - \lambda_1)v_i \in W$ y como los valores propios $\lambda_i$ son distintos, $v_i \in W$ para $2 \leq i \leq k$ entonces también tenemos $v_1 \in W$ . $\quad \square$

Ahora cada $w \in W$ puede escribirse como una suma finita de vectores propios no nulos de $A$ con valores propios distintos, y por el lema estos vectores propios se encuentran en $W$ . Entonces tenemos $W = \bigoplus_{\lambda \in F}(W \cap V_{\lambda})$ como se desee (donde $V_{\lambda} = \{v \in V\mid Av = \lambda v\}$ ).

Answer 2

Teorema. Una transformación lineal es diagonalizable si y sólo si su polinomio mínimo se divide y no tiene factores repetidos.

Prueba. Esto se deduce al examinar la forma canónica de Jordan, ya que la mayor potencia de $(x-\lambda)$ que divide el polinomio mínimo es igual al tamaño del mayor bloque de correspondiente a $\lambda$ de la forma canónica de Jordan de la transformación lineal. (Utiliza el hecho de que cada factor irreducible del polinomio característico divide al polinomio mínimo, y que el polinomio característico debe dividirse para que la transformación lineal sea diagonalizable para argumentar que puedes restringirte a las transformaciones lineales con formas canónicas de Jordan). QED

Teorema. Dejemos que $A$ sea una transformación lineal sobre $V$ y que $W\subseteq V$ ser un $A$ -subespacio invariable. Entonces el polinomio mínimo de la restricción de $A$ a $W$ , $A|_{W}$ divide el polinomio mínimo de $A$ .

Prueba. Dejemos que $B=A|_{W}$ y que $\mu(x)$ sea el polinomio mínimo de $A$ . Desde $\mu(A)=0$ en todos los $V$ La restricción de $\mu(A)$ a $W$ es $0$ Pero $\mu(A)|_{W} = \mu(A|_{W}) = \mu(B)$ . Desde $\mu(B)=0$ entonces el polinomio mínimo de $B$ divide $\mu(x)$ . QED

Corolario. Si $A$ es diagonalizable, y $W$ es $A$ -invariante, entonces la restricción de $A$ a $W$ es diagonalizable.

Prueba. El polinomio mínimo de $A$ se divide y no tiene factores repetidos; como el polinomio mínimo de $A|_W$ divide un polinomio que se divide y no tiene factores repetidos, se deduce que él mismo no tiene factores repetidos y se divide. Por lo tanto, la restricción de $A$ a $W%$ también es diagonalizable. QED

Answer 3

He aquí una pequeña variante de la muy bonita argumentación de Zorn. Usaré la notación de Zorn:

Dejemos que $w=v_1 + v_2 + \cdots + v_k$ estar en $W$ Cada uno de ellos $v_i$ siendo un $\lambda_i$ -eigenvector de $A$ y el $\lambda_i$ siendo distintos.

Basta con comprobar que cada $v_i$ está en $W$ .

Pero esto está claro ya que

$$v_i=\left(\prod_{j\neq i}\ \frac{A-\lambda_j\,I}{\lambda_i-\lambda_j}\right)(w)\quad.$$