Identidad similar a la de Vandermonde

Question

La identidad de Vandermonde da $$\sum_{k=0}^r \binom{m}{k}\binom{n}{r-k}=\binom{m+n}{r}.$$

He aquí un ejemplo de identidad similar a la de Vandermonde: Para todo $0 \le m \le n$ , $$\sum_{k=0}^{2m} \binom{\left\lfloor\frac{n+k}{2}\right\rfloor}{k}\binom{m+\left\lfloor\frac{n-k}{2}\right\rfloor}{2m-k}=\binom{m+n}{2m}$$ (Tenga en cuenta que $\left\lfloor\frac{n+k}{2}\right\rfloor+\left(m+\left\lfloor\frac{n-k}{2}\right\rfloor\right)$ es $m+n$ o $m+n \pm 1$ )

Me pregunto si hay algunas identidades similares donde $m(k)$ y $n(k)$ son funciones de $k$ y $m(k)+n(k)$ es "casi" constante, dice $m+n$ La identidad es la siguiente
$$\sum_{k=0}^r \binom{m(k)}{k}\binom{n(k)}{r-k}=\binom{m+n}{r}?$$

Answer 1

Aquí hay algunos casi identidades "tipo Vandermonde" que pueden ser de interés. No son exactamente lo que pides, pero se acercan bastante.

$$\begin{align*} \sum_{k=0}^n \binom{p+k}{k} \binom{q+n-k}{n-k} &= \binom{n+p+q+1}{n} \\ 2 \sum_{k=0}^r \binom{n}{2k} \binom{n}{2r+1-2k} &= \binom{2n}{2r+1} \\ 2 \sum_{k=0}^r \binom{n}{2k} \binom{n}{2r-2k} &= \binom{2n}{2r} + (-1)^k \binom{n}{r} \\ 2 \sum_{k=0}^{r-1} \binom{n}{2k+1} \binom{n}{2r-2k-1} &= \binom{2n}{2r} - (-1)^k \binom{n}{r} \end{align*}$$

La primera se encuentra en la página 148 del libro de Riordan Identidades combinatorias y los tres últimos se encuentran en la página 144. Es posible que haya más en el libro de Riordan; sólo he hojeado hasta encontrar algunos.