La pregunta es para Probar que :
$Q_8$ es isomorfo a un subgrupo de $S_8$ pero no isomorfo a un subgrupo de $S_n$$n\leq 7$.
Veo que $Q_8$ es isomorfo a un subgrupo de $S_8$ por la izquierda de la multiplicación de la acción.
Una sugerencia fue demostrar que el estabilizador de cualquier punto contiene $\{\pm 1\}$.
Para demostrar cayleys teorema, indicando cualquier grupo es isomorfo a un subgrupo de $S_n$ tomamos acción de grupo dado en un conjunto $A$ tener la misma cardinalidad.
con esa motivación, quiero comprobar si existe un Isomorfismo, entonces hay un mapa de $G\times A \rightarrow A$. es decir, $G$ da una permutación grupo $S_A$.
He intentado de la misma manera. Supongamos $Q_8$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$ $n\leq 7$ debe provenir de un grupo de acción de $Q_8$ sobre un conjunto de cardinalidad atmost 7.
Supongamos $Q_8$ actúa sobre un conjunto $A$ con posible cardinalidad en la mayoría de los 7.
$stab(a)=\{g\in Q_8 : g.a=g \forall a\in A \}$
$cl(a)=\{g.a : g\in Q_8\}$
Sé que el número de elementos en la clase de $a$ es igual al índice de estabilizador.
Como $cl(a)=\{g.a : g\in Q_8\}\in A$ es decir, $cl(a)\subseteq A$ y $|A|\leq 7$ i ver que $|cl(a)|\leq 7$.
Pero, $|cl(a)|=|Q_8:stab(a)|$ para cualquier elemento $a\in A$.
Por eso, $|Q_8:stab(a)|=|cl(a)|\leq 7$ todos los $a\in A$.
Por eso, $stab(a)$ debe ser no trivial subgrupo de $Q_8$ si no $|Q_8:stab(a)|=8$
no triviales subgrupo (correcto) de $Q_8$ contiene $\{\pm1\}$.
Así, En el peor de los casos, $\{\pm 1\}\subseteq stab(a)$ todos los $a\in A$.
Como $Ker(\eta)=\cap_{a\in A}stab(a)$ (donde $\eta$ es la acción de $Q_8$$A$)
vemos que $\{\pm 1\}\subseteq Ket(\eta)$, lo que significa que $Ker(\eta)$ no es trivial.
por tanto, no existe isomorfismo (procedente de la $\eta$) entre $Q_8$ y cualquier subgrupo de $S_7$.
Yo estaría muy agradecido si alguien puede comprobar si mi planteamiento es correcto o si hay alguna otra forma sencilla posible.
P. S : por lo general lo que tengo que hacer para ver si los dos grupos son isomorfos o no es comprobar que la cardinalidad, abelian de propiedad, no de elementos con el mismo orden y así sucesivamente. Pero yo estaba teniendo ni idea de cuando me fallan en todas estas maneras. Con este Grupo de acciones pude ver la posibilidad de llegar a una conclusión precisa sobre Isomorphisms.Me gustaría darle las Gracias al Señor, Jyrki Lahtonen (un usuario de las Matemáticas.SE) que me hizo a acostumbrarse a las acciones del Grupo.
P. S $2$: Si algo está mal en mi idea, es enteramente mi culpa, y si todo es correcto en todo este crédito debe ir a el Señor Jyrki Lahtonen
