Ninguna de las versiones de las pruebas de Wielandt del Teorema de Sylow que he visto asume que $k=n$ . Voy a cortar y pegar la prueba de unos apuntes de clase que tengo.
Teorema. Dejemos que $G$ sea un grupo finito y que $p^\beta$ dividir $|G|$ , donde $p$ es primo. Sea $k$ sea el número de subgrupos de $G$ de orden $p^\beta $ . Entonces $k \equiv 1 \pmod{p} $ .
Prueba. Dejemos que $|G| = p^\alpha t$ con $p\nmid t$ Así que $\beta \le \alpha$ .
Dejemos que $\Omega $ sea el conjunto de todos los subconjuntos de $G$ de orden $p^\beta $ . Así que $|\Omega | = \left( \begin{array}{c} p^\alpha t \\ p^\beta \end{array} \right)$ .
Dejemos que $G$ actuar $\Omega $ por multiplicación por la derecha; es decir, si $S \in \Omega$ entonces $S^g = Sg = \{sg \mid s \in S\}$ .
Dejemos que $\Gamma$ sea una órbita de $G^\Omega$ . Si $T \in \Gamma$ y $x\in T$ entonces $1\in Tx^{-1} \in \Gamma$ por lo que hay un conjunto $S\in \Gamma$ con $1\in S$ .
Considera el estabilizador, ${\rm Stab} _G(S)$ . Si $g\in {\rm Stab} _G(S)$ entonces $Sg=S$ así que $1g = g \in S$ . Así, ${\rm Stab} _G(S) \subseteq S$ .
1) Supongamos que ${\rm Stab} _G(S) = S$ Así que $S$ es un subgrupo de $G$ . Entonces, por el Teorema del Estabilizador Orbital, $|\Gamma| = |G|/|{\rm Stab} _G(S)| = p^{\alpha }t/p^{\beta } = p^{\alpha -\beta }t $ y $\Gamma$ es el conjunto de cosets derechos de $S$ en $G$ . Por lo tanto, sólo un elemento de $\Gamma $ es un subgrupo. A la inversa, si $T$ es un subgrupo de $G$ de orden $p^{\beta}$ entonces $T^G$ (la órbita de $G^\Omega$ que contiene $T$ ) es el conjunto de cosets derechos de $T$ en $G$ por lo que tiene de largo $p^{\alpha -\beta }t $
2) Supongamos que ${\rm Stab} _G(S) \ne S$ . Entonces $|S| > |{\rm Stab} _G(S)|$ Así que $|\Gamma | > p^{\alpha -\beta }t $ . Desde $|\Gamma |$ divide $|G| = p^{\alpha }t $ tenemos $p^{\alpha -\beta +1}$ divide $|\Gamma |$ . Así que por 1) ningún elemento de $\Gamma$ es un subgrupo de $G$ en este caso.
Por lo tanto, hay exactamente $k$ órbitas cuyo estabilizador tiene tamaño $p^\beta $ y estas órbitas tienen una longitud $p^{\alpha -\beta }t $ mientras que aquellas órbitas cuyo estabilizador tiene un tamaño inferior a $p^\beta $ tienen una longitud divisible por $p^{\alpha -\beta +1} $ .
Así que $|\Omega | = kp^{\alpha -\beta }t + l p^{\alpha -\beta +1} $ para algunos $l$ , y por lo tanto $$|\Omega |/p^{\alpha -\beta } = kt + lp \equiv kt \pmod{p}.$$ Desde $p \nmid t$ hay un único $u \in \{1,\ldots,p-1\}$ con $ut \equiv 1 \pmod{p}$ y multiplicando por $u$ da $$k \equiv |\Omega |u/p^{\alpha -\beta } \!\!\!\pmod{p} \equiv \left( \begin{array}{c} p^\alpha t \\ p^\beta \end{array} \right)u /p^{\alpha -\beta }\!\!\! \pmod{p}.$$
Es posible demostrar directamente que esta última expresión es igual a 1 mod $p$ pero podemos evitarlo de la siguiente manera. Obsérvese que $k \pmod{p}$ es una función de $|G|$ y $p^\beta$ sólo, y por lo tanto es lo mismo para todos los grupos de orden $p^{\alpha} t$ . Así que $k \pmod{p}$ puede ser determinar a partir de $G=C_{p^{\alpha} t}$ el grupo cíclico de orden $p^{\alpha} t$ .
Por lo tanto, $k \equiv 1 \pmod{p}$ ya que un grupo cíclico $G$ tiene un único subgrupo de cada orden que divide $|G|$ .
