El macroscópico de tráfico del modelo de flujo por Lighthill-Witham-Richards (LWR) es un modelo hidrodinámico para el flujo de tráfico en una sola infinito camino. Consiste en un escalar hiperbólico la ley de la conservación, que representa la conservación de coches (ecuación de continuidad):
$$
\frac{\partial}{\partial t}\rho + \frac{\partial}{\partial x}P (\rho) = 0 \, ,
$$
cuando el fundente $Q(\rho) = \rho\, v(\rho)$ sólo depende de la densidad de coches $\rho$. La expresión más simple para el coche de la velocidad de $v(\rho)$, introducido por Greenshields, lee
$$
v(\rho) = v_\max \left(1 - \frac{\rho}{\rho_\max}\right) .
$$
Por lo tanto, en el presente caso corresponde a $v_\max = 1$ m/s y $\rho_\max=1$ coche/m. El flujo de la función $Q (\rho) = \rho \left(1- \rho\right)$ es máxima en $\rho = 1/2$ coche/m, el cual se asume que la densidad uniforme de coches en negativo veces. Las curvas características tales que $\rho(x,t)=\rho(x(t),t)$ satisfacer
$$
\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial\rho}{\partial t} + \underbrace{\frac{dx}{dt}}_{P'(\rho)} \frac{\partial\rho}{\partial x} = \alpha \boldsymbol{1}_{0\leq x(t) < 1,\, t\geq 0} \, ,
$$
donde $\alpha$ es la tasa por unidad de longitud de los autos que entran a la carretera a través de una rampa. Varios de los casos se consideran:
- Inicialmente, $\rho=1/2$$dx/dt = 1 - 2\rho = 0$. El diagrama espacio-temporal está hecho de líneas verticales, en el que el coche de la densidad es constante.
- Cuando la rampa esté encendido, uno ha $d\rho/dt = \alpha$, es decir, $\rho = \alpha t + 1/2$ sobre la rampa. Las características de satisfacer $dx/dt = 1 - 2 \rho = -2\alpha t$. Por lo tanto, sobre la rampa, el diagrama espacio-temporal es el hecho de no cruzar la disminución de las funciones, en el que el coche de la densidad no es constante. Cualitativamente, estas curvas se van a interactuar con las líneas verticales de la siguiente manera:
- a la izquierda va la onda de choque es creado a la izquierda de la rampa: la parte de arriba de los coches se paran repentinamente;
- una izquierda que va de la onda de rarefacción (fan), se crea en el derecho de la rampa: la inserción de los coches acelerar gradualmente, hasta alcanzar el máximo flujo de velocidad.
Más cuantitativa de la solución es posible. En este punto, uno puede decidir para resolver la ley de conservación de la fuente con el término
$$
\frac{\partial}{\partial t}\rho + \frac{\partial}{\partial x}P (\rho) = \alpha \boldsymbol{1}_{0\leq x < 1,\, t\geq 0}
$$
numéricamente, o echar un vistazo a este post.
