Convergencia de $\sum\limits_{k=2}^\infty \frac{|\sin kx|}{\log k}$

Question

Para qué valores de $x \in \mathbb{R}$ la serie $$ \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{|\sin kx|}{\log k} $ $ convergen (y ¿cómo demostrar el resto divergen)?

La serie converge trivial en $x = n\pi$ donde $n \in \mathbb{Z}$, pero no estoy seguro acerca de los demás.

Answer 1

Para el caso $x \neq n\pi$, tenemos

$$|\sin(kx)|\geqslant \sin^2(kx)= \frac1{2}[1-\cos(2kx)]$$

y

$$\sum_{k=2}^n \frac{|\sin(kx)|}{\log k} \geqslant \frac1{2}\sum_{k=2}^n \frac{1}{\log k}-\frac1{2}\sum_{k=2}^n \frac{\cos(2kx)}{\log k}.$$

La serie no converge desde

$$\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{\log k} = \infty$$

y la segunda suma en el lado derecho converge por la prueba de Dirichlet.