Suma infinita de potencias a triangular la mitad

Question

Estoy tratando de averiguar lo que es la suma infinita de $\dfrac 1{2^{n(n+1)/2}}$.

Es $\dfrac 12 + \dfrac 1{2^3} + \dfrac 1{2^6} + \dfrac 1{2^{10}} + \cdots $ donde el % de poderes $1,3,6,10,\cdots$son los números triangulares.

Es convergente como su limitada arriba por la suma de $\left(\dfrac 12\right)^n = 1$.

Me he dado cuenta que la ración de los términos, es $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\dfrac 12\right)^n$, y así los ratios constituyen una serie geométrica, pero no parecen encontrar la manera de usar posiblemente este.

¿Me preguntaba si alguien podría darme una pista o un empujón en la dirección correcta? Gracias

Answer 1

(Yo soy colocar este hojaldre de crema antes de jubilarme para hoy...)

Vamos

$$\vartheta_2(z,q)=2\sqrt{q}\sum_{k=0}^\infty q^\frac{k(k+1)}{2}\cos((2k+1)z)$$

ser la segunda función theta de Jacobi. Dejar $z=0$ y $q=\frac12$ da

$$\vartheta_2\left(0,\frac12\right)=\sqrt{2}\left(1+\sum_{k=1}^\infty \left(\frac12\right)^\frac{k(k+1)}{2}\right)$$

y así la expresión es $\frac1{\sqrt{2}}\vartheta_2\left(0,\frac12\right)-1$. Sé que no de ninguna función más elemental que puede representar su suma...