Ayudar a entender $e^{it}=\cos t+i\sin t$ a través de campos de vectores y matrices

Question

Me estaba cepillando en mi complejo de la aritmética en la preparación para una clase en la educación a distancia de este semestre y me encontré en el Ejercicio 2.7.5 en Introducción al Análisis Complejo para los Ingenieros por Michael Aliso, el que lee

La función exponencial es un procedimiento para activar campos vectoriales en los flujos; si se toma el vector de campo, que está dada por$$V\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$ llame a la matriz $A$ y, a continuación, el flujo se da como $e^{tA}$.
[...]
Dibujar una imagen del vector de campo. Identificar la matriz como un número complejo. Deducir que $e^{it}=\cos t+i\sin t$ es poco más que la observación de que la exponenciación es acerca de la resolución de la educación a distancia por Euler método llevado hasta el límite.

Me gustaría mucho entender esto muy bien. De hecho, he realizado la mayor parte de ella y tal vez el problema es que realmente no he tomado la ODA de la clase, pero he leído por delante lo suficiente como para entender la mayoría de lo que se dice.

Me atrajo el campo de vectores (por mano) y tiene unas hermosas circley buscando cosas. Cuando él dice, "la identificación de la matriz como un número complejo," entiendo que se está refiriendo al hecho de que en el libro se define un número complejo $a+bi$ a ser la matriz $$\begin{bmatrix} a & -b\\ b & a \end{bmatrix}$$and so $$ is $i$. I also managed to do the exponentiation $e^{tA}$ y tengo

$$\begin{bmatrix} \cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t \end{bmatrix}$$

Que es, por supuesto, el complejo de número de $\cos t + i\sin t$.

Tan, tan lejos tan bueno, me ha demostrado que $e^{it}=\cos t + i\sin t$.

Sólo estoy teniendo problemas para comprender la última poco, y tal vez eso es porque yo no he tomado la ODA de la clase, pero veo que hay de la tangente a las líneas de los radios de los círculos en algún lugar en el que hay desde el vector campo es tangente a las líneas de círculos en torno al origen y $e^{At}$ termina siendo la matriz de rotación con un ángulo $t$, así que vamos a tener noción de un radio de rotación alrededor del origen en algún lugar? Cómo se relaciona esto con Euler método para la resolución de la educación a distancia? Es la idea de que no es una ODA que produce que el vector de campo como un campo de dirección, y $e^{it}$ da soluciones? Me da un poco perdido en este punto, tal vez alguien me puede ayudar a terminar de poner las piezas juntas.

Answer 1

Para ser explícito, tenemos la Oda $$\frac{d}{d\tau}z(\tau) = iz(\tau)$ $ que queremos integrar en $\tau \in [0,t]$. Dividir el intervalo en $n$ pasos de longitud $t/n$ cada uno. Método de Euler da $$z_{k+1} = z_k + \frac tn\cdot iz_k = \left(1 + \frac{it}n\right) z_k$ $ y $$\quad z_n = \left(1+\frac{it}n\right)z_{n-1} = \left(1+\frac{it}n\right)^2z_{n-2} = \cdots = \left(1+\frac{it}n\right)^nz_0.$ $ igual que ese aspecto familiar?

Answer 2

De Euler método trata de hacer sucesivas aproximaciones lineales en pasos cortos. Creo que el comentario (que no es especialmente claro para mí, ya sea) dice que "la exponenciación como la rotación en el plano complejo" puede ser visto de la misma manera. Puede ser más claro si usted formular como

$$e^{tA}=\lim_{n\to\infty} \left(I+\frac{tA}{n}\right)^n,$$

es decir, aplicar una pequeña fracción de la $tA$ transformación de muchas, muchas veces. Esto está relacionado con álgebras de Lie; ver http://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group y específicamente http://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices para su caso.

Answer 3

Permítanme citar un par de resultados y ver si podemos encontrar una buena interpretación de su mensaje. Deje $\vec{x} = [x_1,x_2,\dots , x_n ]^T$ y supongamos $A$ es una constante $n \times n$ matriz. Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias en forma estándar es simplemente $\frac{d\vec{x}}{dt} = A\vec{x}$.

La completa solución de este problema implica una buena cantidad de vector propio de la teoría y para hacerlo bien necesitamos conocer al menos los aspectos básicos de la Jordan en la forma. Espero que usted puede leer sobre esas cosas en su curso... por ahora, sólo observe que la derivada de $e^{tA}$ es sólo $Ae^{tA}$. Por qué? Sólo se diferencian término por término, la inclinación de la cabeza y estrabismo:

$$ \begin{align}\frac{d}{dt} e^{tA} &= \frac{d}{dt}(I+tA+\frac{1}{2}t^2A^2+ \cdots \frac{1}{k!}t^kA^k+ \cdots ) \\ &= A+tA^2+ \cdots + \frac{k}{k!}t^{k-1}A^k + \cdots \\ &=A(I+tA+\frac{1}{2}t^2A^2+ \cdots + \frac{1}{(k-1)!}t^{k-1}A^{k-1}+ \cdots ) \\ &= Ae^{tA} \end{align}$$

Cada columna de la matriz $e^{tA}$ es una solución a $\frac{d\vec{x}}{dt} = A\vec{x}$ porque $\frac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}$ (sólo rip-aparte esta ecuación en una columna a la vez).

Los vectores columna de la matriz exponencial proporcionar soluciones de $\frac{d\vec{x}}{dt} = A\vec{x}$. En el caso de que usted examine, estos pasan a ser los círculos. Pero, podrían ser muchas otras cosas.

Por ejemplo, si $A=I$$e^{tI} = \left[ \begin{array}{cc} e^t & 0 \\ 0 & e^t \end{array} \right]$. La columna uno es $x=e^t$ $y=0$ y la columna dos es$x=0$$y=e^t$. Las soluciones son las líneas horizontales y verticales. Pero, la teoría permite una combinación lineal por lo tanto la solución general es una línea. Mi punto es simplemente que su ejemplo es especial. Los círculos están conectados a la exponencial imaginaria, y los $2 \times 2$ matrices y que la ecuación diferencial. Esto es más sobre el álgebra de los números complejos de la estructura general de DEqns.

Permítanme volver a la geométrica pregunta en el corazón de su investigación: dado $$ \frac{dx}{dt} = -y \qquad \frac{dy}{dt} = x$$ La solución es una curva paramétrica $\vec{r}(t) = (x(t),y(t))$ a que la tangente campo de vectores $\frac{d\vec{r}}{dt}=\langle -y,x \rangle$. Justamente entender esto sugiere circular trayectorias. Por otra parte, porque explícitamente calcula la matriz exponencial que poseen las soluciones que hacer explícita la circular soluciones de la educación a distancia.

En mi ejemplo,con $A=I$, $$ \frac{dx}{dt} = x \qquad \frac{dy}{dt} = y$$ La solución es una curva paramétrica $\vec{r}(t) = (x(t),y(t))$ a que la tangente campo de vectores $\frac{d\vec{r}}{dt}=\langle x,y \rangle$. Así, si tenemos punto inicial $(x_o,y_o)$ en la solución, a continuación, la dirección en la que la curva sigue es $\langle x_o,y_o \rangle$

Usted menciona la dirección de los campos, tal vez usted vio a estos en relación con exacta de las ecuaciones en su curso de cálculo; $Mdx+Ndy=0$. ¿Cómo se $M,N$ relacionados con nuestros sistemas? Un método formal es resolver para $dt$. Por su ejemplo, $$ dt = -dx/y = dy/x $$ Por lo tanto $xdx+ydy=0$ que integra a dar círculos! Para mi ejemplo tonto, $$ dt = dx/x = dy/y $$ Por lo tanto $\ln|x|=\ln|y|+C$ que los rendimientos de $y = mx$. Resulta $\langle M,N \rangle$ es normal para las soluciones de $Mdx+Ndy=0$. O, podríamos resolver para $\frac{dy}{dx} = \frac{-M}{N}$ a leer el vector tangente campo $\langle -M,N \rangle$

Tal vez he respondido a su pregunta.