Teorema de estabilizador totalmente desconectado de la órbita

Question

Así que soy consciente de que la órbita-estabilizador teorema no se cumple para arbitrario de espacios con una acción transitiva por un grupo topológico, pero me pregunto si funciona de la siguiente situación.

Deje $G$ estar totalmente desconectado, localmente compacto Hausdorff topológico grupo y $X$ topológico, espacio que satisfagan las mismas condiciones (yo diría tales cosas $\ell$-grupos y $\ell$-espacios respectivamente). Si $G$ actúa transitivamente sobre $X$ $x \in X$ es cualquier punto es evidente que existe una $G$-equivariant continua bijection $G/G_x \to X$ donde $G_x$ denota el estabilizador de $x$$G$. Podemos concluir, en esta situación, que $G/G_x \to X$ es un homeomorphism? Si no, ¿qué condiciones debemos imponer? Aviso que esto es cierto si $G/G_x$ es compacto, ya que una continua bijection de compacto de Hausdorff espacios es un homeomorphism.

Answer 1

Esto es verdadero para un localmente compacto G, Grupo topológico Hausdorff y X localmente compacto de Hausdorff, con una base contable local. Este lema"apócrifo" aparece en muchos lugares, pero es fácilmente fuera de lugar.

Reproduje el argumento usual en un apéndice de los apuntes de clase de la "Solenoides" en mi página del curso de forma modular, aquí .