Ejercicio 2.27 Atiyah-Macdonald, llanura absoluta

Question

Un anillo comutativo $R$ es absolutamente plano si todos $R$ módulo es plana. Demostrar que los siguientes son equivalentes:

1) $R$ es absolutamente plana

2) cada ideal principal de $R$ es idempotente

3) cada ideal finitamente generado de $R$ es un sumando directo

Estoy atrapado en implicación $1) \to 2) $

Answer 1

Si $\mathfrak a$ es un ideal de un anillo de $A$ $M$ $A$- módulo, a continuación, el mapa $$ \begin{array}{ccc} M\otimes_A A/\mathfrak a &\to& M/\mathfrak aM \\ m\otimes (a+\mathfrak a)&\mapsto& ma+\mathfrak a M \end{array} $$ es un isomorfismo, que vamos a llamar a la quotienting isomorfismo. Probando este mapa es un isomorfismo es exactamente Ejercicio 2.2 en Atiyah-Macdonald.

Ahora, supongamos $R$ es absolutamente plana y deje $x\in R$. Entonces $$ 0\a (x)\R\a R/(x)\0\etiqueta{1} $$ es exacto en $_{R}\mathsf{Mod}$. Desde $R/(x)$ plano, la aplicación de $(-)\otimes_R R/(x)$ a (1) da una secuencia exacta $$ 0\a (x)\otimes_R R/(x)\R\otimes_R R/(x)\a R/(x)\otimes_R R/(x)\a 0 $$ en $_{R}\mathsf{Mod}$. Una muestra de que el diagrama de $$ \begin{array}{ccccccccc} 0&\to& (x)\otimes_R R/(x)&\to &R\otimes_R R/(x)&\to &R/(x)\otimes_R R/(x)&\to& 0 \\ &&\downarrow && \downarrow && \downarrow \\ 0&\to& (x)/(x)^2&\to& R/(x)&=& R/(x)&\to& 0 \end{array}\etiqueta{2} $$ viajes donde las flechas verticales son los quotienting isomorphisms. Esto implica que la fila inferior de (2) es exacta por lo $(x)/(x)^2=0$ como se requiere.

Answer 2

¿Qué sucede si tensor la secuencia exacta corta $$0\to I\to R\to R/I\to 0$$ with $ I$?