La formas cuadráticas son grandes! Están relacionados con algunos bastante grandes cosas tales como formas bilineales y la Ira invariante. Cuadrática de las formas en general codificar el llamado "quadric superficies", como elipses, paraboloides hiperbólicos, y así sucesivamente. El eje principal teorema, también conocido como el teorema espectral, es uno de los más importantes teoremas de álgebra lineal! Es lo que nos permite "transformar" el cuadrática de las formas de su profesor mencionado.
Tomar una forma cuadrática $q: \Bbb R^n \to \Bbb R$ definido por $x \mapsto x^tAx$. Desde $A$ es simétrica (o puede ser simétrica con bastante facilidad), el eje principal teorema dice que puede ortogonalmente diagonalize! Esto es lo que elimina cualquier de la cruz de términos tales como"$x_1x_2$. Ir a través con la diagonalización ortogonal, $x^tAx = x^tQDQ^tx = (Q^tx^t)D(Q^tx) = y^tDy$. Esta matriz $D$ es diagonal, y las entradas de su diagonal son los valores propios de a $A$.
La importancia de este "transformado" forma cuadrática es que es más significativo en términos de la información que codifica. Sin esos molestos cruz-términos, podemos ver exactamente lo que el quadric surface es sin pelusa. La más fácil de las superficies de identificar son los de la forma $a_1y_1^2 + a_2y_2^2 + a_3y_3^2$ desde los signos de $a_1, a_2$ $a_3$ cómo podemos distinguir entre el elipsoide, paraboloide, etc.
También son de gran uso en la física cuando estamos tratando con el tensor de inercia de un cuerpo rígido. Se acerca una de las mejores cosas que podemos aprender en primer año álgebra lineal!
Editar:
Echa un vistazo a estas notas por el profesor Mike Hopkins en la universidad de Harvard sobre cuadrática y formas bilineales. El profesor Hopkins dio una muy buena conferencia en el Noroeste de Mayo pasado en el que se refirió a algunos de los de más alto nivel, aspectos de la formas cuadráticas y cómo se conectan a la Ira invariante. Su conferencia y estas notas son accesibles para cualquier persona que toma un curso de álgebra lineal. Estas notas, en particular, deberían ayudar a hacer algunos "aha!" momentos y conexiones más profundas/intuiciones acerca de la formas cuadráticas.
http://math.harvard.edu/~mjh/noroeste.pdf
Para agregar a amd comentario, dado un $C^2$, con un valor real de la función de $f$ $n$ variables, y un punto crítico de la $x_0$ de la función, podemos Taylor expandir $f$ a de segundo orden a discernir la naturaleza de la mínima. Es decir,
$$
f(x) = f(x_0) + \tfrac{1}{2}x^tHx + o(\Vert{x}\Vert^2),
$$
donde $H$ es el de Hesse de $f$, y se codifica todos los de segundo orden parciales de $f$ en el punto de $x_0 \in \Bbb R^n$. Desde $f$$C^2$, el de Hesse de $f$ es simétrica, y podemos ortogonalmente diagonalize $H$ (esto es "transformar" la forma cuadrática a través de un cambio de variables):
$$
f(y) = f(y_0) + \tfrac{1}{2}y^tDy + o(\Vert{y}\Vert^2).
$$
De $D$, podemos recoger de inmediato si $x_0$ (equivalentemente, $y_0$) es un máximo local, min, o ninguno de los dos ya que las entradas de $D$ a lo largo de su diagonal son los valores propios de la Arpillera. Si $D$ ha estrictamente positivo autovalores, a continuación, $x_0$ es un mínimo (creo cóncava hacia arriba), y si $D$ ha estrictamente negativo autovalores, a continuación, $x_0$ es un máximo (creo cóncava hacia abajo). Si $D$ positivos y negativos autovalores, $x_0$ es un punto de silla.
En resumen, esto hace que la clasificación de los extremos más simple, gracias al hecho de que el segundo término en la expansión de Taylor de $f$ sobre un punto crítico es en sí misma una forma cuadrática.
