Mostrar que divide a que $(k!)^2$ $(2k+2)!$

Question

Mostrar que divide a que $(k!)^2$ $(2k+2)!$

Tenemos $\binom{2k+2}{k+2}=\dfrac{(2k+2)!}{k!(k+2)!}\in \Bbb Z$decir $=p$

Ahora divide a $k!$ $(k+2)!\implies (k!)^2$ divide $(2k+2)!$.

¿Es correcto el argumento? Por favor ayuda.

Answer 1

Sí, tu argumento es correcto y bueno.

También, tenga en cuenta que $\binom{2n}{n}$ es un número entero, del mismo modo podemos probar que divide a que $(n!)^2$ $(2n)!$.

Más generalmente, es un resultado bien conocido divide a que $(n!)^k$ $(kn)!$.

Answer 2

Sabemos que el producto de números enteros consecutivos de cualquier k es divisible por k!.

$(2k+2)!=[(2k+2).(2k+1)...(k+3)]\times[(k+2).(k+1)...3]\times 2.1$

donde los dos primeros factores [] cada uno, productos de enteros consecutivos de k, entonces cada uno divisible por k son!, por lo tanto el número entero (2 k + 2)! es divisible por $(k!)^2$.