¿Cuál es el subproducto de los campos, cuando existe?

Question

Este es un poco más avanzada versión de otra pregunta aquí.

Deje $\textbf{CRing}$ ser la categoría de anillos conmutativos con unidad. Deje $\textbf{Dom}$ ser la categoría de integral de dominios – por la que me refiero no trivial de anillo conmutativo con unidad de forma tal que el cero ideal es principal. Deje $\textbf{Fld}$ ser la categoría de campos – por que me refiero a una integral de dominio de tal forma que cada elemento no nulo es invertible. (Homomorphisms preservar la unidad, etc.; en el caso de $\textbf{Dom}$ sólo nos permiten inyectiva homomorphisms.)

Es evidente la inclusión de categorías $\textbf{Fld} \hookrightarrow \textbf{Dom}$, y se ha dejado adjoint $\operatorname{Frac} : \textbf{Dom} \to \textbf{Fld}$. Desde $\operatorname{Frac}$ es un adjunto a la izquierda, conserva co-productos, y está claro que $\operatorname{Frac} K \cong K$ si $K$ es un campo. Por lo tanto, co-productos en $\textbf{Fld}$, si existen, deben ser los mismos como co-productos en $\textbf{Dom}$, si es que existen.

Pregunta 1. ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para el subproducto de dos integrales de dominios o campos de existir?

Ahora, desde la $\textbf{Fld}$ es una subcategoría de $\textbf{Dom}$ y un total subcategoría de $\textbf{CRing}$, por más general tontería, cualquier $\textbf{CRing}$-subproducto (o $\textbf{Dom}$-subproducto) de los campos que pasa a ser un campo también es el subproducto en $\textbf{Fld}$

Pregunta 2. Es posible que un subproducto de existir en $\textbf{Dom}$ sin ser el subproducto en $\textbf{CRing}$?

(Como un ejemplo concreto de por qué importa esto, se observa que la $\textbf{CRing}^\textrm{op}$ es una subcategoría de $\textbf{Sch}$, pero los límites calculados en $\textbf{CRing}$, en general, difieren de colimits calculado en $\textbf{Sch}$.)

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Algunas observaciones. Para cada par de campos de $K$$L$, que pueden llevar a sus $\textbf{CRing}$-subproducto $K \otimes_{\mathbb{Z}} L$. Para cada uno de los prime $\mathfrak{p}$$\operatorname{Spec} K \otimes_{\mathbb{Z}} L$, no es una parte integral de dominio $(K \otimes_\mathbb{Z} L) \mathbin{/} \mathfrak{p}$, y podemos tomar la fracción de campo $\operatorname{Frac} ((K \otimes_\mathbb{Z} L) \mathbin{/} \mathfrak{p})$ para obtener un cuasi-subproducto. No es sólo un conjunto de estas cuasi-co-productos, y si $F$ es un campo cada par de mapas $(K \to F, L \to F)$ factor a través de al menos una (o exactamente...?) de estas cuasi-co-productos. Para la categoría de campos equipado con un homomorphism de $K$ y un homomorphism de $L$ tiene un "débil conjunto inicial", y un genuino subproducto existe si y sólo si, esta categoría tiene un objeto inicial.

Por lo tanto, el fracaso de $K \sqcup L$ a existir puede ser cuantificados en términos de la estructura de la subcategoría de cuasi-co-productos. ¿Cuáles son las posibilidades?

Answer 1

Aquí hay ejemplos en todas las características de los campos con el mismo primer campo, pero sin un subproducto.

Deje $k=\mathbb F_p$ o $\mathbb Q$ y deje $ k(x)$ $ k(y)$ dos copias del campo de funciones racionales sobre $k$.
Me dicen que ellos no tienen ningún subproducto en Fld.

De hecho, vamos a $C$ ser un hipotético subproducto $C=k(x) \sqcup k(y)$.
Considerar la identidad morfismos $i_1:k(x)\to k(t) $ $i_2:k(x)\to k(t)$ (donde $k(t)$ es otra copia de la función racional de campo de más de $k$)
Da lugar a un morfismos $i_1\sqcup i_2:C\to k(t)$.
Desde este morfismos es inyectiva, tenemos necesariamente ha $trdeg_k C=1$.

Sin embargo, considerando la evidente morfismos $j_1:k(x)\to k(x,y) $ $j_2:k(y)\to k(x,y) $ obtenemos un campo de morfismos $j_1\sqcup j_2:C\to k(x,y)$ cuya imagen debe contener $x$$y$.
En otras palabras, el (automáticamente inyectiva) morfismos $j_1\sqcup j_2:C\to k(x,y)$ es surjective y por lo tanto es un isomorfismo, lo que se contradice con la anterior afirmación de que $trdeg_k C=1$.

Esto implica que $k(x)\otimes_k k(y)$, no es un campo, que, por supuesto, puede también resultó directamente. (La más pulida forma de uso de un teorema de Grothendieck lo que implica que $k(x)\otimes_k k(y)$ ha Krull de dimensión uno: ver aquí)

Editar permítanme mostrarles, como una respuesta a un comentario más abajo, que $\mathbb Q(\sqrt 2)$ $\mathbb Q(\sqrt 2)$ no tienen ningún subproducto.

Deje $C=\mathbb Q(\sqrt 2)\sqcup \mathbb Q(\sqrt 2)$ ser su hipotético subproducto en Fld.
Las identidades $i_1,i_2:\mathbb Q(\sqrt 2) \to \mathbb Q(\sqrt 2)$ conducir a un campo de morfismos $i_1 \sqcup i_2:C\to \mathbb Q(\sqrt 2)$.
Esto demuestra que $C=\mathbb Q(\sqrt 2)$.

Vamos ahora a $j_1,j_2:\mathbb Q(\sqrt 2)\to Q(\sqrt 2)\sqcup \mathbb Q(\sqrt 2)=C=\mathbb Q(\sqrt 2)$ ser estructural morfismos para el subproducto ($j_1,j_2\in Gal(\mathbb Q(\sqrt 2)/\mathbb Q))$.
Considere entonces los morfismos $u_1=j_1:\mathbb Q(\sqrt 2)\to \mathbb Q(\sqrt 2)$ $u_2:\mathbb Q(\sqrt 2)\to \mathbb Q(\sqrt 2)$ donde $u_2$ es diabólicamente elegido como el automorphism de $Gal(\mathbb Q(\sqrt 2)/\mathbb Q))$ diferente de la $j_2$.
Ahora es imposible elegir a$u:C=\mathbb Q(\sqrt 2)\to \mathbb Q(\sqrt 2)$$u\circ j_1=u_1$$u\circ j_2=u_2$.
De ahí el subproducto $C$ en realidad no existe.

Answer 2

Si $K$ $L$ son los campos, a continuación, $K\otimes_{\mathbb Z} L$ es no-cero si y sólo si $K$ $L$ son de la misma característica. Supongo que esto tiene a partir de ahora.

A continuación, considere la posibilidad de Espec $K\otimes_{\mathbb Z} L$. Esto es no vacío. Cada uno de los puntos de $x$ tiene un residuo de campo $\kappa(x)$, y hay un mapa de $K\otimes_{\mathbb Z} L \to \kappa(x)$. Estos mapas están determinados por sus núcleos (este es el significado de los puntos en Spec!), y así son incomparables para diferentes $x$. Por lo tanto $K$ $L$ tienen un subproducto si y sólo si Espec $K\otimes_{\mathbb Z} L$ tiene un único punto.

Georges varios contraejemplos puede ser considerado como construir explícitamente más de un punto de esta Especificación.

Explicaciones adicionales: Para dar un morfismos de $K$ $L$ a un campo $F$ es lo mismo que dar un mapa de $K\otimes_{\mathbb Z} L \to F$. Dando ejemplo de un mapa es el mismo que elegir el núcleo, que es un alojamiento ideal $\mathfrak p$, y luego dar un mapa de $\kappa(\mathfrak p) \to F$.

Si $E$ es el subproducto de $K$$L$, entonces hay algunas $\mathfrak q$, de modo que $E = \kappa(\mathfrak q)$. Pero entonces para cualquier otro $\mathfrak p$, el mapa de $K\otimes L \to \kappa(\mathfrak p)$ para el factor a través del mapa de $K\otimes L \to \kappa(\mathfrak q)$, lo cual sólo es posible si $\mathfrak p = \mathfrak q$. Por lo tanto $K\otimes L $ tendría que tener un solo punto en su Especificación.