Un problema de álgebra de 3 minutos

Question

Acabo de hacer el examen de matemáticas avanzado de nivel 2 y hay varios problemas que me han fastidiado. Esta es la primera pregunta:

Si $x,y>0$ y, a continuación, determinar el valor de $x$ que satisface el sistema de ecuaciones: \begin {align} x^2+y^2-xy&=3 \\ x^2-y^2+ \sqrt {6}y&=3 \\ \end {align}

Puedo responder a este problema utilizando un álgebra "estándar" pero me lleva más de 3 minutos. Por curiosidad, ¿hay alguna manera de responder a este problema en menos de 3 minutos? Cualquier pista sería muy apreciada.

Answer 1

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Answer 2

Restando la segunda ecuación a la primera se obtiene $$2y^2-xy-\sqrt{6}y=0$$ Entonces, al factorizar $$y(2y-x-\sqrt{6})=0$$ Así, $2y-x-\sqrt{6}=0$ causa $x,y$ son mayores que $0$ . Así que $y=\frac{x+\sqrt{6}}{2}$ poniendo esta expresión en la segunda ecuación se tiene \begin {align} x^2- \left ( \frac {x+ \sqrt {6}}{2} \right )^2+ \sqrt {6} \left ( \frac {x+ \sqrt {6}}{2} \right )&=3 \\ x^2- \frac {x^2+2 \sqrt {6}x+6}{4}+ \frac { \sqrt {6}}{2}x+3&=3 \\ \frac {3}{4}x^2- \frac {3}{2}&=0 \\ \end {align} Cuya raíz positiva es $x=\sqrt{2}$ .

Answer 3

Toma la pista de G.Bach para que $2y=x+\sqrt 6$

Ahora suma las dos ecuaciones para obtener $$2x^2+(\sqrt 6-x)y=6$$ Sustituir por $y$ : $$2x^2+\frac 12(\sqrt 6-x)(\sqrt 6+x)=6=\frac 32 x^2+3$$

Así que $x^2=2$