¿Una función de elección "hacia atrás" implica el axioma de elección?

Question

Uno de mis favoritos de formulaciones de el Axioma de Elección es que para cualquier familia no vacía $A$ de conjuntos no vacíos, hay una función de elección $F\colon A\to\cup A$ tal que $F(X)\in X$ por cada $X\in A$.

El uso de este, que fue capaz de demostrar que también hay una función de $f\colon\cup A\to A$ tal que $x\in f(x)\in A$ todos los $x\in\cup A$. Hice esto por considerar cualquier $x\in\cup A$, y dejando $B_x=\{X\in A\mid x\in X\}$, y luego dejar que $C=\{t\in\mathscr{P}(A)\mid \exists_{x\in\cup A}t=B_x\}$, es decir, $C$ es el conjunto de todos los $B_x$. Ahora cada una de las $B_x$ es no vacío, entonces existe una función de elección $F$ tal que $F(B_x)\in B_x$ por cada $B_x$. La definición de $f(x)=F(B_x)$, he a $x\in f(x)\in A$ por cada $x\in\cup A$. Supongo que esto es lo que yo entiendo por "atrás" función de elección, aunque no es realmente una.

Es esto equivalente a CA? Es decir, si para cualquier conjunto $A$, existe una función de $f\colon\cup A\to A$ tal que $x\in f(x)\in A$ todos los $x\in\cup A$, entonces AC se mantiene? Yo no podía ver de inmediato un camino que implica el Axioma de Elección, en cualquier equivalente formulación suponiendo que lo anterior es cierto para cualquier conjunto $A$. Es sólo una forma de implicación? Gracias.

Answer 1

Una respuesta a una pregunta relacionada con la que me dio hace algún tiempo que pasa para responder a su pregunta. Voy a postear aquí también:

Esto es equivalente al axioma de elección. Tomar un conjunto $X$ de los no-vacía de conjuntos. Deje que el conjunto de $X'= X\cup\{\{x\} : x\in\bigcup X\}$, y para cada $x\in\bigcup X$$C_x=\{y\in X' : x\in y\}$. Observar que si $x\neq y$ $C_x\neq C_y$ desde $\{x\}\in C_x$ mientras $\{x\}\notin C_y$. El conjunto $A=\{C_x : x\in\bigcup X\}$ es un conjunto por el axioma de reemplazo y usted tiene que $\bigcup A=X'$. Si hay una función de $f:X'\to A$ la satisfacción de la declaración que escribió tiene una función de elección $g$$X$, es decir,$g(y)=x\iff f(y)=C_x$.

Answer 2

Sí. Definir $A' = \{(a,b) : b \in a \in A\}$. Entonces para cualquier $a \in A$ tenemos $\{a\} \in \bigcup A'$ (tomando la definición de par ordenado $(a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}$). Así que si $g$ es una función de la opción al revés en $A'$, $g(\{a\})$ es un par ordenado $(a,f(a))$, donde $f(a) \in a$. Así $f$ definida de esta manera es una función de elección en $A$ (con la definición habitual).

Answer 3

No, esta construcción funciona a la perfección en ZF.

SUGERENCIA: Escriba su $f$ la composición: $\bigcup A \rightarrow \coprod A \rightarrow A$ donde $\coprod A$ es distinto de la suma de los elementos de $A$.

---

Lo siento, me respondió a una pregunta equivocada. Creo que la respuesta a su pregunta: sí, son equivalentes.

Considere la posibilidad de cualquier surjection $f \colon A \rightarrow B$, y, sin pérdida de generalidad, se supone que ambas $A$ $B$ son disjuntas. A continuación, formar una familia,$F = \{ \{a, f(a)\} \colon a \in A \}$. Desde $f$ es surjective, $\bigcup F = A \cup B$. Así, gracias a su axioma, no es una función de $h \colon A \cup B \rightarrow F$ tal que $b \in h(b)$. También hay una evidente proyección $p = \{\langle t, a \rangle \colon a \in t\} \colon F \rightarrow A$ --- que es $p(\{a, b\}) = a$. Que componen estas dos funciones con la obvia inyección de $\iota_B \colon B \rightarrow A \cup B$ da una sección de $f$$p \circ h \circ \iota_B \colon B \rightarrow A$, lo que es otra formulación de CA (es decir, cada surjection tiene una sección).