¿Existe la integral impropia?

Question

Necesito encontrar una función continua y acotada $\mathrm{f}(x)$ tal que no existe el límite $$ \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\, \int_0^T \mathrm{f}(x)~\mathrm{d}x$ $.

Pensé en $\mathrm{f}(x) = \sin x$ pero no estoy seguro si el hecho de que dividimos por $T$ algunos cómo puede hacer converger a cero.

¿Qué te parece?

Answer 1

$ \sin(x) $ no, pero sólo es un pelín más complicado. $$ f(x) = \sin\left(\ln(x)\right) $$ should do the job (you can integrate it exactly by elementary techniques and then show it is $ \mathcal{O}(T) $).

Tenga en cuenta que la función está acotada y continua en $ (0,+\infty) $.

Answer 2

La idea aquí es simple, pero los detalles laborioso. Mantener la función en $+1$ largo suficiente para que la media pega algún valor positivo, entonces mantener la función en $-1$ tiempo suficiente para que la media llega a un valor negativo y repita.

Que $t_n = 2^{n+2}-4$. Que $f_n(t) =\begin{cases} t-t_n, & t \in [t_n,t_n+1] \\ 1 , & t \in (t_n+1,t_{n+1}-1) \\ 1-(t-(t_{n+1}-1)) , & t \in [t_{n+1}+1, t_n] \\ 0, \text{otherwise}\end{casos} $.

Nota que $f_n$ tiene apoyo $(t_n,t_{n+1})$ y $\int_0^{t_{n+1}} f_n = t_n+3$.

Que $\phi(t) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^kf_k(t)$. Entonces \begin{eqnarray} \int_0^{t_{n+1}} \phi_n &=& \sum_{k=0}^n (-1)^k (t_k+3) \\ &=& \sum_{k=0}^n (-1)^k (2^{k+2}-1) \\ &=& \sum_{k=0}^n (-2)^{k+2}- \sum_{k=0}^n (-1)^k \\ &=& {4 \over 3} (1-(-2)^{n+1})- {1 \over 2} (1 - (-1)^{n+1}) \end{eqnarray} entonces\begin{eqnarray} \sigma_n &=& {1 \over t_{n+1} }\int_0^{t_{n+1}} \phi_n \\ &=& {4 \over 3} { (1-(-2)^{n+1})- {1 \over 2} (1 - (-1)^{n+1}) \over 2^{n+3}-4} \\ &=& {1 \over 3}{ (1-(-2)^{n+1})- {1 \over 2} (1 - (-1)^{n+1}) \over 2^{n+1}-1} \\ &=& {1 \over 3} { {1 \over 2^{n+1} } - (-1)^{n+1} - {1 \over 2^{n+2} (1 - (-1)^{n+1} }\over 1 - {1 \over 2^{n+1} } } \end{eqnarray} vemos que $\liminf_n \sigma_n = - {1 \over 3}$, $\limsup_n \sigma_n = {1 \over 3}$, por lo tanto que el límite no existe.

Answer 3

¿Y

Answer 4

El integral tiene que divergen a infinito si este límite es que no existe, (por supuesto cualquier otro límite dará cero general). Dado el límite de tipo $``\dfrac{\infty}{\infty}"$, si aplicamos a L'Hopitals; $$\displaystyle\lim_{T\to \infty}\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{0}^{T}f(x)\ dx = \lim_{T\to \infty} f(T)$$

Esto hace claro que el límite no existe foro $f$ no limita, por lo que no hay ninguna función adecuada.