Integración de

Question

No sé cómo integrar $\displaystyle \int\frac{1}{x^{4}+1}\mathrm dx$. ¿Tengo que usar la sustitución trigonométrica?

Answer 1

$$\int\frac 1{1+x^4}dx=\frac12\int\frac{1+x^2+1-x^2}{1+x^4}dx$$

$$\int\frac{1+x^2}{1+x^4}dx=\int\frac{\frac1{x^2}+1}{\left(x-\frac1x\right)^2+2}dx$$

Conjunto de $x-\frac1x=\sqrt2\tan\phi$

$$\int\frac{1-x^2}{1+x^4}dx=-\int\frac{1-\frac1{x^2}}{\left(x+\frac1x\right)^2-2}dx$$

Conjunto de $x+\frac1x=\sqrt2\sec\psi$

Referencia: sustitución trigonométrica

Answer 2

Mi Consejo:

$$\int \frac{1}{1+x^4}dx=\frac{1}{2}\left[\int \frac{1+x^2}{1+x^4}dx+\int\frac{1-x^2}{1+x^4}dx\right]=\frac{1}{2}\left[\int \frac{1}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}d\left(x-\frac{1}{x}\right)+\int\frac{1}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}d\left(x-\frac{1}{x}\right)\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{x^2-1}{\sqrt{2}x}+\frac{}{2\sqrt{2}}\ln\frac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}\right]+Constant$$

Answer 3

Puede factor $x^4+1 = (x^2 + \sqrt{2} x + 1) (x^2 -\sqrt{2}x + 1)$. Esto le permite escribir el integrando como $\frac{a_1 x + b_1}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} + \frac{a_2 x + b_2}{x^2- \sqrt{2}x + 1}$. Luego sería reescribir el denominador en forma de $(x-u)^2 + v$ y reescribir el numerador como $a_i (x-u) + w$, de la que se puede hacer un cambio de variable para integrar esencialmente $x/(x^2+1)$ y $1/(x^2+1)$.

Answer 4

Directamente por identidad de Sophie Germain o:

$$x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt2x)^2=(x^2-\sqrt2x+1)(x^2+\sqrt2x+1)$$

Después de dividir la fracción inicial obtenemos:

$$\int \frac{1}{x^4 +1} \ dx = \int \frac{\frac{x}{2\sqrt2}+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt2x+1} \ dx+\int \frac{\frac{-x}{2\sqrt2}+\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt2x+1} \ dx=$$ $$\frac{\sqrt2}{8} \int \frac{2x+2\sqrt2}{x^2+\sqrt2x+1} dx-\frac{\sqrt2}{8} \int \frac{2x-2\sqrt2}{x^2-\sqrt2x+1} dx=$$ $$\frac{\sqrt2}{8}\int \frac{2x+\sqrt2}{x^2+\sqrt2x+1} dx+\frac{1}{4} \int \frac{1}{x^2+\sqrt2x+1} dx-\frac{\sqrt2}{8}\int \frac{2x-\sqrt2}{x^2-\sqrt2x+1} dx+\frac{1}{4} \int \frac{1}{x^2-\sqrt2x+1} dx=$$ $$\frac{\sqrt2}{8}\left( \int \frac{2x+\sqrt2}{x^2+\sqrt2x+1} dx -\int \frac{2x-\sqrt2}{x^2-\sqrt2x+1} dx \right)+$$ $$\frac{\sqrt2}{4} \left( \int \frac{\sqrt2}{(\sqrt2x+1)^2+1} dx+\int \frac{\sqrt2}{(\sqrt2x-1)^2+1} dx \right)=$$ $$\frac{\sqrt2}{8} \left(\ln(x^2+\sqrt2x+1)-\ln(x^2-\sqrt2x+1) \right) +\frac{\sqrt2}{4} \left(\arctan(\sqrt2x+1)+ \arctan(\sqrt2x-1)\right)+C$$ $$=\frac{\sqrt2}{8} \ln\frac{(x^2+x\sqrt2+1)}{(x^2-x\sqrt2+1)}+\frac{\sqrt2}{4}\arctan\frac{x\sqrt2}{1-x^2}+C.$$

Q.E.D.