¿Son estas propiedades suficientes para definir un campo?

Question

Considere las siguientes propiedades:

1. $a(x+y) = ax + ay$
2. $x + y = y + x$
3. $ax = xa$
4. $x + 0 = x$
5. $x \cdot 1 = x$
6. por cada $x\ne 0$ hay un $y$ tal que $xy=1$ .

¿Son suficientes para definir un campo?

Answer 1

Estos axiomas no requieren la existencia del contrario (para la adición). El conjunto de los números racionales no negativos con las operaciones habituales satisface estos axiomas y no es un campo.

Answer 2

No. Sigues necesitando los inversos aditivos y las dos propiedades asociativas. Como contraejemplo rápido, considere el conjunto de todos los enteros reales $S=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge0\}$ . Satisfacen las seis propiedades. Pero no es un campo porque no hay inversos aditivos.