Arclength de la curva de $y= \ln( \sec x)$ $ 0 \le x \le \pi/4$

Question

Arclength de la curva de $y= \ln( \sec x)$ $ 0 \le x \le \pi/4$

Sé que tengo que encontrar su derivado que es fácil, es $\tan x$

Luego la pongo en la fórmula arclength

$$\int \sqrt {1 - \tan^2 x}$$

Desde aquí no sé qué hacer, lo puse en wolfram y consiguió buscando algo masivo. Sé que no puedo utilizar la substitución de la u y estoy bastante seguro de que tengo que algebraicly manipular esto antes de que puedo seguir pero no sé cómo.

Answer 1

Has cometido un error. Longitud de arco viene dada por la integral:

$ \ell = \int_a^b \sqrt{1+\left(y'\right) ^ 2} \,dx $$

Así que si $y' = \tan x$, arco largo es:

$ \ell = \int_a^b \sqrt{1+\tan^2 x} \,dx = \int_a^b \sqrt{\sec^2 x} \,dx = \int_a^b | \sec x | \,DX $$

For $a = 0$, $b = \frac{\pi}{4}$:

$ \ell = \int_0^{\pi/4} \sec x \,dx $$

El valor absoluto se ha ido como es positivo en $\sec x$ $[0, \frac{\pi}{4}]$.

Answer 2

La fórmula arclength es

$$\mathrm S_a^b(f) =\int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}dx$$

Tienes

$$f(x) = \log \sec x$$

Esto significa que

$$f'(x) = \tan x$$

Entonces usted necesita encontrar

$$\mathrm S =\int_0^{\pi/4} \sqrt{1+\tan^2 x}dx$$

Recuerda que

$$1+\tan^2 x=\sec ^2 x$$

También, recuerde que la secante es positiva en el primer cuadrante, por lo que

$$\mathrm S =\int_0^{\pi/4} \sqrt{\sec^2 x}dx$$

$$\mathrm S =\int_0^{\pi/4} \sec xdx$$

Answer 3

Como otros han señalado, debe ser

Recordar $$\int_0^{\pi/4} \sqrt{1+\tan^2 x} \ \ dx$de % $ $1+\tan^2 x = \sec^2 x$ % $ $$\int_0^{\pi/4} \sqrt{\sec^2 x} \ \ dx$ya todos funciones trigonométricas son positivas en el primer cuadrante, simplemente podemos reescribir el integrando como %#% $#%

Que es un integral (relativamente) bien conocido que se evalúa como %#% $ #%

Ahora simplemente evaluar en los extremos - usted debe obtener alrededor de $$\int_0^{\pi/4} {\sec x} \ \ dx$ suponiendo que hice un error botón de perforación.

Answer 4

La fórmula arclength debe ser $\int \sqrt{1+\tan^2 x}\ dx$.