¿Cuántos subgrupos de orden 17 tiene $S_{17}$ ¿tiene?

Question

¿Cuántos subgrupos de orden 17 tiene $S_{17}$ ¿tiene?

Mi intento :

Un grupo de orden 17 es de orden primo, por tanto cíclico y cada elemento en él es un generador y de orden 17.
En $S_{17}$ grupo podemos obtener un elemento de orden 17 sólo a través de un ciclo 17.

Número de elementos de orden 17 en $S_{17}$ es $\frac{17!}{17} = 16!$ .

Ahora bien, dado que dos subgrupos sylow 17 sólo tienen una intersección trivial. Podemos concluir que 16 de estos elementos caen en cada subgrupo bajo 17.

Por lo tanto, el número de subgrupos de baja 17 sería $\frac{16!}{16} = 15!$

Answer 1

Su respuesta parece correcta.

Es cierto que hay $16!$ elementos de orden $17$ Pero si se trata de una pregunta de deberes, es posible que el corrector quiera que explique por qué.

Una prueba alternativa (pero no necesariamente mejor) es la siguiente:

Consideremos el conjunto de subgrupos de $S_{17}$ de orden $17$ . Como ha señalado, estos subgrupos deben ser cíclicos. En particular, deben ser transitivos.

Para cada subgrupo $G$ arreglar $g\in G$ con $g(1)=2$ . $g$ es el único elemento de este tipo de $G$ y genera $G$ por lo que define de forma única $G$ .

Escribe $g=(1,2,x_3,\ldots,x_{17})$ . Hay $15!$ opciones para el $x_i$ así que $15!$ tales subgrupos.

Answer 2

Demostrar que el número de $p-$ Subgrupos Sylow en el grupo simétrico $S_p$ es $(p 2)!$ .

Prueba : Cualquiera $p-$ El subgrupo Sylow es cíclico de orden $p$ y tiene precisamente $p 1 $ generadores. Además, si dos $p-$ Los subgrupos Sylow comparten un generador, son idénticos. Por lo tanto, los elementos de orden p se dividen según el subgrupo p-Sylow al que pertenecen. Hay que contar el número de elementos de orden exactamente p. Éste es precisamente el número de elementos distintos $p-$ ciclos, que es $p!/p = (p1)!$ . Agrupándolos en distintos $p-$ Subgrupos Sylow (con $p1$ en cada grupo), vemos que el número de $p-$ Los subgrupos de Sylow son $(p 1)!/(p 1) = (p 2)!.$

Ahora toma $p= 17$ entonces

Número de $p-$ Subgrupos Sylow en el grupo simétrico $S_{17}$ es $(17 2)!=15!$ .