Como yo lo entiendo, es habitual en GR para definir una foliación del espacio-Tiempo por una familia de spacelike hypersurfaces "indexado" por la variable de tiempo. Entonces, en el contexto de la métrica de Schwarzschild en coordenadas esféricas, es correcto definir la misma manera que una foliación de estos spacelike hypersurfaces por una familia de 2-esferas indexados por el radial variable? Podemos encontrar una correspondencia con un topológico de la bola de radio r? Y esta segunda foliación poseen las mismas propiedades que el primero? Es correcto pensar de la spacelike hypersurfaces y de la 2-esferas como las familias de cada uno compuesto de infinitos elementos empiled en cada uno de los otros a lo largo de la t y r la dirección respectivamente ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Por el teorema de Frobenius de obtener una foilation si la tangente paquete restringido a que el espacio es cerrado bajo la Mentira de soporte. I. e. usted echa un vistazo a una base $L_i$ del espacio de la tangente de interés ($i=1,...n$donde $n$ es menor que la dimensión de todo el espacio de la tangente) y comprobar si todas las expresiones de $[L_i,L_j]$ son de nuevo los vectores dentro de ese espacio.
Para coordenadas esféricas vas a encontrar $$L_\theta=g_1(\theta,\phi)\partial_\theta+g_2(\theta,\phi)\partial_\phi$$ y $$L_\phi=h_1(\theta,\phi)\partial_\theta+h_2(\theta,\phi)\partial_\phi,$$ en cada parche, por lo que es bueno. Probablemente un ejemplo es algo como $$L_\theta=c_r \partial_\theta,\ \ \ \ L_\phi=c_r f(\theta) \partial_\phi.$$
Aquí no me importaba singularidades de cualquier tipo. La topología de espacios compactos es, por supuesto, diferentes a los demás. ¿Sabe usted la peluda bola teorema?
En cuanto a tu pregunta, el unidimensional caso es incluso trivial, por así decirlo. Pero hay algunas situaciones en las numéricos de la relatividad general y loop quantum gravity, donde el punto es encontrar realmente agradable, spacelike foliaciones, pero eso no es lo que estás pidiendo. Tan lejos como las restricciones de la geometría de Riemann, que debe ser de todos.
...en el contexto de la métrica de Schwarzschild en coordenadas esféricas, es es correcto definir la misma manera que una foliación de estos spacelike hypersurfaces por una familia de 2-esferas indexados por el radial variable?
Solo 2-esferas debajo del horizonte de sucesos, es decir, aquellos para los que r < rhorizonte. r = constante describe un timelike hipersuperficie, si r > rhorizonte.
Podemos encontrar una correspondencia con un topológico de la bola de radio r?
No sabes lo que estás haciendo aquí, pero si te estás preguntando si la topología de una hipersuperficie definida por r = constante es S2, la respuesta es 'no'. Hypersurfaces son hyper superficies, son tres dimensiones. Su topología en este caso es R X S2.
Es correcto pensar de la spacelike hypersurfaces y de la 2-esferas como las familias de cada uno compuesto de infinitos elementos empiled en cada uno de los otros a lo largo de la t y r la dirección respectivamente ?
No del todo. El spacelike hypersurfaces son parte de una misma familia, cada uno de cuyos miembros es un 3-dimensional de volumen de la topología de R X S2. Estos miembros son indexados por el radio r de la 2-esfera, siempre y cuando r < rhorizonte.
