¿Grupo fundamental distinguir entre cualquier dos espacio topológico homeomórficos no?

Question

Soy nuevo en el grupo fundamental.

Que estaba leyendo Munkres y encontré esa necesidad fundamental grupo fue distinguir entre espacios topológicos no homeomórficos.

Mi pregunta es, ¿grupo fundamental distinguir entre cualquier dos espacio topológico no homeomórficos?

O existen algunos espacios que no homeomórficos pero sus grupos fundamentales son los mismos?

Mi intution dice que es una herramienta exitosa para distinguir entre ellos.

Gracias de antemano.

Answer 1

El grupo fundamental de la no , no, de hecho, se distinguen los espacios hasta homeomorphism.

Para un ejemplo simple de esto, cada uno de los siguientes espacios de la trivial grupo fundamental, sin embargo, no hay dos homeomórficos:

• La línea real, $\mathbb{R}$.

• El "Long line" https://en.wikipedia.org/wiki/Long_line_(topología).

• El avión $\mathbb{R}^2$.

• El punto del espacio.

• La 2-esfera $\{(x, y, z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=1\}$.