¿Cambiar límite y diferenciación para una secuencia de funciones lisas?

Question

Que $(f_n)_{n\in \mathbb N}$ sea una secuencia de funciones lisas convergiendo a un $f$.

¿En qué circunstancias puedo cambiar límite y derivada?, es decir,

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\partial f_n(x)}{\partial x} = \frac{\partial f(x)}{\partial x}$$

Answer 1

Si tienes una secuencia de funciones $(f_n)_{n\in \mathbb N}$ que son diferenciables y convergen pointwise punto $x_o$ y sus derivados convergen uniformemente, decir en un intervalo dado [a, b], suponiendo que son funciones de valoradas real, entonces la secuencia de funciones $(f_n)_{n\in \mathbb N}$ es uniformemente convergente a $f$ y qué más, $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\partial f_n(x)}{\partial x} = \frac{\partial f(x)}{\partial x}$ $

Se trata de un estándar teorema en análisis. Ver Principio de análisis matemático, 3ro edición, teorema $7.17$ de Walter Rudin para la prueba detallada.