Teorema del valor medio de Lagrange/Cauchy

Question

Que $\,\,f,g\in C^2([0,1])$ tal que $f'(0)g''(0)-f''(0)g'(0)\neq 0$ y $g'(x)\neq 0$ % todos $x\in (0,1)$. Que $\theta(x)$ ser un número real tal que

$$\frac{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)}=\frac{f'(\theta(x))}{g'(\theta (x))}.$$

¿Qué puedo decir de $\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\theta(x)}{x}$?

Answer 1

Tenemos: $$ f(x) = f(0)+f'(0) x +\int_{0}^{x}f''(t)(x-t)\,dt $ $ $$ f'(x) = f'(0)+\int_{0}^{x}f''(t)\,dt $ $ por lo tanto: %#% $ de #% suponiendo que sobre el intervalo de $$\frac{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)}=\frac{f'(0)+\int_{0}^{x}f''(t)(1-t/x)\,dt}{g'(0)+\int_{0}^{x}g''(t)(1-t/x)\,dt}=\frac{f'(0)+\int_{0}^{\theta(x)}f''(t)\,dt}{g'(0)+\int_{0}^{\theta(x)}g''(t)\,dt}.\tag{1}$ ambos $I_x=[0,x]$ y $f''$ pequeña variación ($g''$), puesto que $\leq\varepsilon$ tenemos que $\theta(x)\in I_x$ se comporta como $\int_{0}^{\theta(x)}f''(t)$ $\theta(x)\,f''(0)$ se comporta como $\int_{0}^{x}f''(t)(1-t/x)\,dt$, por lo tanto

$\frac{x}{2}f''(0)$$$\frac{f'(0)+\frac{x}{2}f''(0)}{g'(0)+\frac{x}{2}g''(0)} =\frac{f'(0)+\int_{0}^{x}f''(t)(1-t/x)\,dt}{g'(0)+\frac{x}{2}g''(0)}=$ =\frac{f'(0)+\int_{0}^{\theta(x)} f'' (t) \,dt} {g'(0) + \frac {x} {2} g'' (0)} = \frac {f'(0) + \theta (x) \,f'' (0)} {g'(0) + \frac {x} {2} g'' (0)}. \tag {2} $

Recogida de...

$$$$

Y tomando límite obtenemos que $$\frac{f'(0)+\frac{x}{2}f''(0)}{g'(0)+\frac{x}{2}g''(0)} = \frac{f'(0)+\theta(x)\,f''(0)}{g'(0)+\frac{x}{2}g''(0)} \Rightarrow \frac{x}{2}f''(0) = \theta(x)\,f''(0) .\tag{3}$ $