¿Dada una serie de Fourier $f(x)$: lo que ' s la diferencia entre el valor de la expansión toma para dado $x$ y el valor converge a para dado $x$?

Question

La pregunta que me dio fue: Encontrar la serie de Fourier para $f(x) = e^x$ en el rango $-1\lt x\lt 1$ y encontrar lo que el valor de la expansión tendrá al $x = 2$?

La serie de Fourier para $f(x)=e^x$ $$f(x)=e^x=\sinh1\left(1+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n\pi)^2+1}\left(\cos(n\pi x)-n\pi\sin(n\pi x)\right)\right)$$

Mi intento de calcular estos valores: $$f(2)=\sinh1\left(1+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(n\pi)^2+1}\right)$$

$$f(0)=e^0=\sinh1\left(1+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(n\pi)^2+1}\right)$$

La respuesta dada fue: La serie converge a la misma valor como se hace en el $x = 0$, es decir,$f(0) = 1$.

Podría por favor alguien que me explique la diferencia entre:

Qué valor tendrá la expansión de tomar en un determinado $x$ y el valor de la serie converge a un determinado $x$?

Muchas Gracias

Answer 1

Esa respuesta es incorrecta.

Definir la función $f$ $\exp(x)$ $[-1, 1)$ y continúe periódicamente. Luego por la condición de Dirichlet la serie de Fourier de $f$ converge para todos los $x$ $\frac{1}{2}(f(x+) + f(x-))$. Puesto que la función tiene una discontinuidad de salto tipo $x = 1$, la serie de Fourier en este punto convergen a $\frac{1}{2}(e + e^{-1})$.

Answer 2

Sugerencia sugerencia.

1. Esto es incorrecto: $${f(2)=e^2=\sinh1\left(1+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2n}}{(n\pi)^2+1}\right)}$$ Borrar

2. Coge tu lápiz y recalcular $f(2)$. Si usted hace esto con cuidado, que pronto va a terminar con $f(0)$.

3. Desplácese hacia abajo para encontrar una solución.

-

-

-

-

Solución:

Poner $f(x) = e^x$, y deje $\widetilde{f}$ denotar el de la serie de Fourier de expansión de $f$ sobre el intervalo [-1,1].

Luego, de acuerdo a la teoría de series de Fourier (por ejemplo podemos utilizar el teorema de Dirichlet) nos dice que vamos a tener

$$\widetilde{f}(x) = f(x), \qquad \text{for all $x$ with $-1<x<1$}\tag1$$ $$\widetilde{f}(1) = \frac{f(1)+f(-1)}{2}, \qquad \text{for all $x$ with $-1<x<1$}\tag2$$ y $$\widetilde{f}(2n + x) = \widetilde{f}(x), \qquad \text{for all real $x$ and integers $n$}\tag3$$

(En nuestro caso, no necesitamos ningún tipo de límites en (2)).

Ahora, con respecto al valor en $x=2$. El valor de $f(2)$$e^2$, y no depende de la serie de Fourier, mientras que $$\widetilde{f}(2) = \widetilde{f}(0) = f(0) = 1$$ debido a (3) y (1), respectivamente. Por un lado, de acuerdo a la expansión de la tuya, $$\widetilde{f}(0) = \sinh1\left(1+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(n\pi)^2+1}\right)$$