Pregunta de concurso de alta escuela

Question

Algún trabajo en él revela la posibilidad de utilizar la función gamma. ¿Hay alguna forma fácil de lo calcular a? $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n!} \int_0^e \log^n x \ dx\right)^n$$

Answer 1

Que $ x = e^{-y} $ llegar a $ \displaystyle(-1)^n \int_{-1}^\infty y^n e^{-y} \ dy = (-1)^n \left(n! + \int_{-1}^0 y^n e^{-y} \ dy\right) $. Esta segunda integral está delimitado entre $ 0 $y $ (-1)^n $. De hecho, es exactamente igual a $ u_n e - n! $ donde $ u_n $ tiene una definición recursiva encuentra fácilmente aunque integración por las piezas, es decir, $ u_{n} = (-1)^{n} + nu_{n-1} $.

Por lo tanto, la integral general tiene valor $ (-1)^n u_n e $. Porque $ u_n \sim \frac{n!}{e} $ el resultado es $ (-1)^{n^2} = (-1)^n $.

Este último resultado puede ser dibujado por el hecho de que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{-1}^0 y^n e^{-y} \ dy = \lim_{n \to \infty} u_n e - n! = 0 $.

Una pregunta más interesante es que mi opinión es $$ \sum_{n = 1}^\infty \left(\frac{1}{n!}\int_0^e \log^n x \ dx\right)^n - (-1)^n $ $

Answer 2

No estoy totalmente seguro de esto, pero Mathematica parecían estar de acuerdo. A través de la integración por partes, $u=\log^{n}(x)\implies du = (n/x)\log^{n-1}(x)$$dv = dx\implies v = x$. Por lo tanto, la: $$ \int_{0}^{e}\log^{n}(x)dx = e - n\int_{0}^{e}\log^{n-1}(x) $$

Definiendo $a_{n} = \int_{0}^{e}\log^{n}(x)dx$, podemos ver que $a_{n} = e - n a_{n-1}$. Si $n$ es muy grande, el término iwth $e$ deja de ser importante, y efectivamente $a_{n} = -na_{n-1}$, lo que significa que $a_{n} \sim (-1)^n n!$. Subbing esta en el límite de $L$ se convierte en $$ L\sim\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(-1)^n n!}{n!}\right)^n = \lim_{n\to\infty}\left((-1)^n\right)^n = \lim_{n\to\infty}(-1)^{n^2} $$

Que oscila entre el $-1$ $1$ para los pares y los impares $n$, por lo que el límite no existe.