como consecuencia de

Question

Asumir $V=L$. Definir $\langle A_\alpha\mid\alpha<\omega_1\rangle$ como sigue: % Let $A_\alpha$ser el #% menos $<_L$ #% tal que $A\subseteq\alpha$ si tal un $(\forall\beta<\alpha)A\cap\beta\not=A_\beta$ y que $A$ lo contrario. Demostrar que para todos los $A_\alpha=\emptyset$ allí existe un $A\subseteq\omega_1$ tal que $\alpha<\omega_1$.

He estado trabajando en este problema desde hace algún tiempo y estoy algo estancada. Mi primer pensamiento fue hacer uso de $A\cap\alpha=A_\alpha$ (desde $\diamondsuit$), pero no estoy seguro de cómo aplicar el principio en este caso. ¿Soy malo intentar aplicar $V=L\Rightarrow\diamondsuit$ aquí?

Answer 1

Como se ha dicho,

Suponga $V=L$. Definir $\langle A_\alpha\mid\alpha<\omega_1\rangle$ como sigue: vaya a $A_\alpha$ $<_L$- menos $A\subseteq\alpha$ tal que $(\forall\beta<\alpha)A\cap\beta\not=A_\beta$ si $A$ existe y deje $A_\alpha=\emptyset$ lo contrario. Demostrar que para todos los $A\subseteq\omega_1$ existe un $\alpha<\omega_1$ tal que $A\cap\alpha=A_\alpha$.

el problema es mucho menos profundo de lo que parece, y no requiere de $\diamondsuit$$V = L$, debido a que:

Reclamo: $A_\alpha = \emptyset$, para todos los $\alpha < \omega_1$. En primer lugar, tenga en cuenta que $\emptyset$ $<_L$- primer conjunto, el período y la $(\forall \beta < 0)\,[...]$ es vacuously cierta;$A_0 = \emptyset$, por el primer caso de la definición ("tal $A$ existe"). [Como Noé Schweber señala en su comentario, en el hecho de que hemos terminado ya - ahí está su "$\alpha$" para la conclusión: $\alpha = 0$.] Ahora supongamos $\alpha > 0$. Entonces para cualquier $A\subseteq \alpha$, no podemos tener $(\forall \beta < \alpha)\, [A \cap \beta \ne A_\beta]$ $[... \beta ...]$ tendría que ser verdadera para $\beta = 0$, que no lo es: $A \cap 0 = A\cap\emptyset \,(= \emptyset) \ne A_0 = \emptyset$. Por lo $A_\alpha = \emptyset$, por el segundo caso de la definición ("de otra manera").$\quad\square$

Ahora, si $A\subseteq \omega_1$, $0$ es una $\alpha$ tal que $A \cap \alpha = A_\alpha$.

Donde es este problema? Son usted seguro de que es indicada correctamente?