Aproximación analítica de la integral de la función de Bessel

Question

Intento aproximar la integral: $$ \int_0^z \left(\frac{J_1(x\,\sin\theta)}{\sin\theta}\right)^2 {\rm d}\theta $$

Mi enfoque muy ingenuo era hacer la serie de Taylor del integrando. Sin embargo, para x bastante grande, necesito tener cada vez más términos en la serie. Para $x=1$ Sólo necesito dos términos, para $x=2\pi\,10^4$ la integración no parece converger en absoluto. Si fuera de ayuda, $z$ suele ser $z\approx 10^{-1}$ . ¿Alguna sugerencia de cómo aproximar esta integral? (Supongo que la integral definida no existe). Gracias.

Answer 1

Hagamos una sustitución $\sin(\theta)=y$ $$ I(x,z)=\int_{0}^{\sin(z)}\frac{J^2_{1}(x y)}{y^2\sqrt{1-y^2}}dy $$

Porque $z\approx0.1$ podemos suponer que $\sin(z)\approx z$ . Además realizamos otra subsitución $\frac{y}{z}=q$ cediendo $$ I(x,z)=z\int_{0}^{1}\frac{J^2_{1}(x z q)}{(zq)^2\sqrt{1-(zq)^2}}dq $$

Como primer paso para simplificar el problema podemos observar que para $z\approx 0.1$ , $\sqrt{1-(zq)^2}\approx 1$ en todo el ámbito de la integración. Por lo tanto: $$ I(x,z)\approx\frac{1}{z}\underbrace{\int_{0}^{1}\frac{J^2_{1}(x z q)}{q^2}dq }_{Q(x,z)}\quad(1) $$

Esencialmente hay dos caminos a seguir a partir de ahora:

1.) Pregunta a Mathematica cuál es el resultado de esta integral:

$$ I(x,z)\approx\frac{1}{4} x^2 z \, _1F_2\left(\frac{1}{2};2,3;-(x z)^2\right) \quad(2) $$

Obsérvese que este resultado es válido para todos los valores de $x$ ! sólo la suposición de que $z$ es lo suficientemente más pequeño entonces 1 se hizo!. Si usted está interesado en la gran $xz$ puede utilizar 15.8.2 desde aquí que conecta pequeños argumentos de $_2F_1$ a grandes argumentos de $_2F_1$ . Si he hecho todo correctamente esto coincide con la respuesta encontrada por @Raymond Manzoni

$$ I(x,z)\sim\frac{4}{3\pi}x $$

2.) El segundo enfoque sería realmente profundizar en (1) y derivar los resultados explícitos para $xz \rightarrow \infty$ utilizando una división del rango de integración y expansiones asintóticas de las funciones de Bessel. Espero poder terminar este enfoque hoy o mañana cuando estoy menos ocupado. Pero estoy bastante seguro de que esto funciona bien.

$\bf{Appendix}$

Para demostrar (2) podemos emplear lo siguiente representación de $J^2_1(x)$ :

$$ J^2_1(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{2^{2+2m}}\frac{x^{2m+2}\Gamma(2m+3)}{m!\Gamma(m+3)\Gamma^2(m+2)} $$

Ahora después de cambiar suma e integración

$$ Q(x,z)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{2^{2+2m}(2m+1)}\frac{(zx)^{2m+1}\Gamma(2m+3)}{m!\Gamma(m+3)\Gamma^2(m+2)} $$

Mediante la aplicación del fórmula de duplicación de la función gamma puede reducirse a

$$ Q(x,z)= \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{2\sqrt{\pi}}\frac{(zx)^{2m+1}\Gamma(m+\frac{1}{2})}{m!\Gamma(m+3)\Gamma(m+2)} $$

Utilizando la definición del símbolo de Pochhammer $(x)_n=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$ encontramos que $(\frac{1}{2})_n=\sqrt{\pi}\Gamma(n+\frac{1}{2}),(2)_n=\Gamma(n+2)$ y $(3)_n=2\Gamma(n+2)$ por lo que podemos reformular

$$ Q(x,z)= \frac{z^2x^2}{4}\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-z^2x^2)^{m}(\frac{1}{2})_m}{m!(2)_m (3)_m} $$

Utilización de la representación en serie de $_1F_2$ podemos concluir que

$$ Q(x,z)=\frac{z^2 x^2}{4}{_1F}_2\left(\frac{1}{2};2,3;-(x z)^2\right) $$

Lo que demuestra (2)