Bijection entre el $2^{\mathbb R}$ $\mathbb{ R ^ R}$

Question

Soy muy consciente de que el estándar de prueba basado en la cardinalidad de la aritmética para mostrar que estos dos conjuntos tienen la misma cardinalidad y la cuestión de la definición de un bijection entre los dos conjuntos. He trabajado en él un poco de tiempo y me estaba preguntando si había algún lagunas, o un método más simple de venir para arriba con un bijection.

La principal idea que yo tenía era tomar una familia de secuencias indexados por los números reales. De modo que cada una de estas secuencias corresponde a un único número real. Entonces puedo asignar cada una de estas secuencias a otro número, por la aplicación de la función binaria de $\mathbb R$ $\{0,1\}$y el mapeo de la infinita secuencia binaria de un número real, utilice uno de los estándar de bijections.

Primero vamos a $E$ ser una familia de secuencias indexados por los números reales. Tal que $E_{xi}\neq E_{yj}$ todos los $x,y \in \mathbb R$ $i,j \in \mathbb N$ también con la propiedad de que

$\mathbb R= \bigcup_{x \in \mathbb R, i \in \mathbb N} E_{xi}$.

¿Qué tipo de teoremas tengo que probar esa familia existía, es suficiente señalar que los reales pueden ser representados como una incontable de la unión de countably conjuntos infinitos?

También vamos a $P: 2^{\mathbb N} \rightarrow \mathbb R$ ser favorito bijection.

Ahora considere un elemento de $2^{\mathbb R}$ como una función de $f: \mathbb R \rightarrow \{0,1\}$ $g \in \mathbb{ R^R}$ en una manera similar. A continuación, nuestro bijection entre los dos conjuntos será la función de $\Phi$ que se asigna a $f$ a una función $g$, de tal manera que $g(x)=P(F(E_x))$ donde $F$ se aplica $f$ a cada elemento de la secuencia de $E_x$.

Estoy bastante seguro de que este es un sobre y uno-a-uno de la función. El uno-a-uno de la propiedad debe seguir debido a que las secuencias son distintos, cubierta $\mathbb R$ $P$ es un bijection. En el argumento es un poco hazier, pero debería ser posible para recrear la función de $f$, por primera inversión de cada elemento con $P$ y, a continuación, definiendo $f$ basado en estas secuencias.

Answer 1

Una vez que usted tiene el bijection $P:2^\mathbb{N}\cong\mathbb{R}$, usted puede construir su deseado bijection de la siguiente manera.

En primer lugar, tenga en cuenta que $\mathbb{N}\times 2^\mathbb{N}\cong 2^\mathbb{N}$, essentially by the bijection that associates $(n,A)$ con $\{n\}\cup (n+1+A)$, a excepción de que esta se pierda el conjunto vacío en el derecho, pero podemos arreglar esto de componer con un mapa de presenciar $2^\mathbb{N}-\{\varnothing\}\cong 2^\mathbb{N}$, tal como un cambio en un fijo contables subconjunto.

Ahora, basta con observar que $$\mathbb{R}^\mathbb{R}\cong (2^\mathbb{N})^{(2^\mathbb{N})}\cong 2^{(\mathbb{N}\times 2^\mathbb{N})} \cong 2^{(2^\mathbb{N})} \cong 2^\mathbb{R}, $$

que proporciona la deseada bijection. El primer mapa es conjugación por $P$, simplemente componiendo con $P^{-1}$ $P$ antes y después; el segundo mapa es un ejercicio fácil en el paréntesis reorganización; la tercer mapa se aplica la observación anterior; y el mapa final se aplica $P$.