Pregunta de embalaje de esfera

Question

Estoy en una escuela secundaria profesor de matemáticas, actualmente en mis vacaciones de trabajo a través de algunos problemas de matemáticas para la diversión. Aquí es uno que he hecho, pero se sentía demasiado fácil, así que si usted puede comprobar si hay errores, yo estaría agradecido.

Supongamos que hay 8 esferas de radio r. Se colocan de tocarse el uno al otro de modo que el centro de cada esfera se unirían para formar un cubo.

La pregunta es "¿Cuál es el mayor radio de una novena esfera en el centro de esta disposición?" Creo que he contestado, pero yo estaría muy agradecido por cualquier entrada.

No sé cómo dibujar este digitalmente, así que espero que mi descripción es suficiente.

Hasta ahora he imaginar el problema en 2d... cuatro círculos de tocar para formar un cuadrado. El radio es r. La plaza creada desde el centro de los puntos secundarios de longitud 2r, por lo tanto, el uso de pythag la diagonal es $2r\sqrt2$. La mitad de esto le dará la distancia desde el centro de un círculo al centro del arreglo: $r\sqrt2$. Por lo tanto, reste la inicial radio, r, y que tienen el máximo posible el radio del círculo más pequeño: $r\sqrt2-r=r(\sqrt2 - 1)$.

Tomando en 3D, el cubo creado por los centros de 8 esferas tendrá una diagonal de $2r\sqrt2$ a lo largo de la base y la altura $2r$, así que de nuevo el uso de pythag, el más largo de la diagonal del cubo será:

$\sqrt((2r\sqrt2)^2+(2r)^2)=\sqrt(8r^2 + 4r^2)=2r\sqrt3$

Divida esto por 2 para encontrar la distancia desde el centro de la esfera al centro del cubo: $r\sqrt3$

Restar el radio inicial para encontrar el radio de la menor de la esfera: $r(\sqrt3 - 1)$

Answer 1

Eso es correcto. Podría hacerlo un poco más directamente, sin factores de $2$ y sin la aplicación iterada del teorema de Pitágoras: los centros de las esferas son en $(\pm r,\pm r,\pm r)$. La longitud de cada uno de esos vectores es $\sqrt{3r^2}=\sqrt3r$, por lo deja $\sqrt3r-r=r\left(\sqrt3-1\right)$ para el radio de la esfera interior.

Answer 2

Que $a$ sea el radio de la esfera más grande atrapado tocar todas las ocho esferas, cada una con un radio $r$, en el arreglo. Desde entonces, cubo tiene cada borde $2r$ por lo tanto, el cuerpo es la diagonal del cubo formado $$=(2r)\sqrt{3}=2r\sqrt{3}$$ There are three spheres along the body diagonal of the cube hence, the body diagonal will be equal to the distance between centers of the large spheres centered at the vertices of diagonal given as $$\text{body-diagonal of cube}=r+2a+r=2r\sqrt{3}$$ $$2a=2r\sqrt{3}-2r$$ $$\color{blue}{a=r(\sqrt{3}-1)}$$ Thus the largest sphere which can trapped at the center of cube has a radius $ r(\sqrt{3}-1)$