¿Hay cualquier método para obtener una suma finita para $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$?

Question

Como podemos ver en la Wikipedia, hay algunos métodos algebraicos que nos dan finito de sumas de dinero para la Grandi de la serie

$$1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots$$

Deje $S$ la suma de los Grandi de la serie. Entonces

• $S=(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+\cdots=0$

• $S=1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1+0+0+\cdots=1$

• $1-S=S$ , de modo que $S=1/2$

Las manipulaciones algebraicas anteriormente no está permitido porque las Grandi de la serie no converge.

Hay algo similar relacionado con la serie armónica? En otras palabras, ¿hay alguna incorrecta "algebraica" de manera a obtener una suma finita de

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots \;?$$

Gracias.

Answer 1

No $~\zeta^\star(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{\zeta(x+h)+\zeta(x-h)}2.~$ $\zeta^\star(1)=\gamma\simeq\dfrac1{\sqrt3}.~$ consulte la función de Riemann $\zeta$

y la constante de Euler-Mascheroni para más detalles. Otra alternativa posible sería $\ln2$, ya que aparece en muchas expresiones como sustituto de donde uno esperaría encontrar $\zeta(1)$.

Answer 2

Sugerencias:

Si conoces esta desigualdad, pueden ser útil para usted:

$\frac{1}{1+n}<\ln(1+\frac1n)<\frac1n$

Así, $1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n\le 1+\ln2+\ln\frac32+\cdots \ln\frac{n}{n-1}=1+\ln n$

Answer 3

En realidad, si se considera sólo a la normal de la serie armónica, con sólo términos positivos, usted no puede encontrar un reordenamiento que se converge a un cierto valor, dado que todos los términos son positivos, y cambiar el orden no es posible.

Sin embargo, se puede demostrar que, si vuelve a organizar correctamente los términos de la serie de término general: $a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ , usted puede hacer que convergen hacia cualquier x real.

Aproximadamente: $a_1 = 1$ , si x<1, agregar términos negativos hasta $x> S_{f(n)} $ donde esta suma parcial se hace con términos raros de la serie. A continuación, una vez que usted tiene esta condición, usted va a agregar términos positivos hasta que : x < $S_{f(n)} $ . Hacer que undefinitely, y ponerlo correctamente lo suficiente puede demostrar que esta serie converge hacia x. Por supuesto, esto sólo en los bocetos, pero la idea es de aquí