¿Por qué es $\lim_\limits{x\to 0}\frac{\sin(6x)}{\sin(2x)} = \frac{6}{2}=3$ ?

Question

¿Por qué es $\lim_\limits{x\to 0}\frac{\sin(6x)}{\sin(2x)} = \frac{6}{2}=3$ ?

La justificación es que $\lim_\limits{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} = 1$

Pero, no veo la conexión.
¿La regla de L'Hospital? ¿Se está produciendo una doble sustitución de ángulos?

Answer 1

$$\frac{\sin(6x)}{{\sin(2x)}} =\frac{\sin(6x)}{6x} \cdot \frac{2x}{{\sin(2x)} }\cdot \frac{6}{2} $$

Answer 2

No necesitas conocer ningún límite o derivada especial, puedes hacerlo con identidades trigonométricas:

Desde

$$\sin3\theta=\sin(\theta+2\theta)=\sin\theta\cos2\theta+\cos\theta\sin2\theta=\sin\theta\cos2\theta+2\sin\theta\cos^2\theta$$

que tenemos, dejando $\theta=2x$ ,

$${\sin6x\over\sin2x}={\sin2x(\cos4x+2\cos^22x)\over\sin2x}=\cos4x+2\cos^22x$$

y por lo tanto

$$\lim_{x\to0}{\sin6x\over\sin2x}=\lim_{x\to0}(\cos4x+2\cos^22x)=\cos0+2\cos^20=1+2=3$$

(La evaluación final depende, por supuesto, de saber que la función coseno es continua).

Answer 3

Como ha escrito el usuario Daniel se puede expresar la relación $\frac{\sin 6x}{\sin 2x}$ de manera que se pueda utilizar el límite estándar $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\ .$$ Observe que $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{6x}\ .$$ Mientras el argumento $x$ no es igual a cero (y $\sin 2x \neq 0$ ) se puede prolongar la relación $\frac{\sin 6x}{\sin 2x}$ de la siguiente manera.

$$\frac{\sin 6x}{\sin 2x} = \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \frac{6x}{2x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} = \underbrace{\frac{\sin 6x}{6x}}_{\to 1} \cdot \frac{6}{2} \cdot \underbrace{\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2x}}}_{\to\frac{1}{1}} \to 1 \cdot 3 \cdot 1 = 3 \ .$$ Así se obtiene el resultado $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 6x}{\sin 2x} = 3 \ .$$

Answer 4

$$\lim_\limits{x\to 0}\frac{\sin(6x)}{\sin(2x)}$$ $$= \lim_\limits{x\to 0}\frac{6}{2} \cdot \frac{\frac{\sin(6x)}{6x}}{\frac{\sin(2x)}{2x}}$$ $$=\frac{6}{2}$$ $$=3$$

Answer 5

SUGERENCIA: reescribir el cociente en la forma $$\frac{\sin(6x)}{6x}\frac{1}{\frac{\sin(2x)}{2x}}\cdot 3$$