Este es mi primer post aquí, así que no estoy seguro acerca de la etiqueta, pero tengo un par de preguntas pertenecientes a un concepto, y espero que sea bueno que he agrupado todos en un solo post.
Soy completamente nuevo a la lógica, o al menos, el estudio académico de la lógica (todos hacemos uso de la lógica de los conceptos en la vida de cada día, pero se vuelve mucho más complicado y abstracto que eso). Me estoy tomando un Discreto curso de Matemáticas en el primer año de universidad, y debido a que es sólo un término del curso me siento como que estamos corriendo a través de las cosas y no explicar cada concepto. Sólo lo suficiente para sobrevivir. Corrimos a través de tablas de verdad y conectivos lógicos en una semana (o 3 horas de clases teóricas y un puñado de ejercicios de práctica) y, a continuación, se fue directamente a la teoría de conjuntos y operaciones y demostrar las relaciones entre los grupos. Pero las propiedades de las operaciones requieren de un sólido entendimiento de las propiedades de los conectivos lógicos, que yo no tengo porque apenas nos pasamos más tiempo en ellos. Mi profesor sólo trata de conseguir a través de la material tan rápido como sea posible, incluso si esto significa el corte de las esquinas de aquí y de allá. Eso es lo que se siente, de todos modos, tal vez soy lento en la absorción y no conectar cosas en mi mente.
De todos modos, lo que me interesa ahora mismo es exactamente lo que los siguientes símbolos significan y cuando hacer uso de ellos:
$=$, $\equiv$, $\leftrightarrow$, y $\Leftrightarrow$
Pregunta 1
Hasta la universidad (ahora), $=$ es el único símbolo que he utilizado siempre. Mi entendimiento es que el $=$ es simplemente la afirmación de que las dos expresiones matemáticas en cualquiera de los lados de $=$ tienen el mismo valor numérico.
$2=2$ (verdadero)
$4+5=3+6$ (verdadero)
$5 = 3$ (falso)
$4\neq7$ (verdadero)
$4x-y=6x+3y$ (sólo true o false dependiendo de los valores de las asignaciones de x y de y)
(Esto último no es una declaración, ¿verdad? Se trata de una frase? Pero el signo de igualdad es todavía la afirmación de la igualdad de valores en cualquiera de los lados)
Así que mi pregunta es ¿puede el $=$ firmar ser utilizado en cualquier otro contexto, tal vez entre las dos declaraciones, en lugar de en el interior de una declaración, con el fin de hacer un nuevo compuesto declaración? En general, para los dos estados P y Q, estoy permitía decir:
$P=Q$
Después de todo, P y Q tienen un valor de verdadero o falso, y, por ejemplo, si P era la verdadera y Q es verdadera, entonces la anterior instrucción compuesta sería
$T=T$
Que haría de la instrucción compuesta $P=Q$ verdad (y si la verdad los valores difieren, el compuesto del enunciado sería falso).
Es esto permitido?
(EDIT: sabes qué, yo era sólo la corrección de este post antes de enviarlo, y me di cuenta de que $P=Q$, como lo he descrito, hace la misma declaración como $P\wedge Q$. Así que supongo que ya existe un operador $\wedge$ que denota una relación, el $=$ signo no es para ser utilizado en esta forma)
Pregunta 2
Mi profesor, esencialmente, nos dijo que $\leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ son intercambiables, pero basado en el bit de investigación que he hecho fuera de la clase, tengo la sensación de que no es completamente cierto. Tal vez puede ser intercambiada para los propósitos de nuestro muy condensada supuesto, pero yo no me siento como me dice la historia completa. Que, o yo sólo incomprendido y ella en realidad no dicen que son intercambiables. Hacer ambos símbolos representan biconditionality entre las dos declaraciones? Quizás $\Leftrightarrow$ está reservado para su uso entre los dos compuestos declaraciones, mientras que $\leftrightarrow$ está reservado para su uso entre los dos componentes declaraciones dentro de una instrucción compuesta?
Pregunta 3
Mientras que mi profesor no salir y decir que $\equiv$ $\Leftrightarrow$ representan la misma cosa, ella parece usar muy en situaciones similares y no sé por qué. Mi comprensión de la $\equiv$ es que representa la lógica de la equivalencia entre los dos compuestos consolidados (es decir. el compuesto de dos declaraciones que se compara tendrá la coincidencia de valores de verdad para cada una de las posibles asignación de valores de verdad para el componente de las declaraciones que constan de). Obviamente, si dos compuestos declaraciones son lógicamente equivalentes, entonces un verdadero resultará en la verdad de la otra, y uno que es falso el resultado será el otro es falso también. Sin embargo, es correcto decir que son bicondicional? Los dos compuestos declaraciones en realidad dependen unos de otros, o no sus valores de verdad acaba de pasar a la coincidencia debido a la lógica de la equivalencia?
A mí me parece que biconditionality entre dos compuesto de declaraciones es un tipo de relación diferente de la lógica de la equivalencia, incluso si se encuentran estrechamente relacionados (¡oh, dios, estoy hablando acerca de las relaciones entre relaciones, me duele la cabeza). Estoy en lo cierto al afirmar que la $\Leftrightarrow$ evalúa la dependencia de las declaraciones de cada uno de los otros, y $\equiv$ evalúa la equivalencia de sus valores de verdad? Si es así, es esta distinción importante a considerar, o puedo utilizar indistintamente los dos símbolos diferentes, cada vez que quiero?
Suponiendo que $\equiv$ $\Leftrightarrow$ son realmente distintos y no se pueden intercambiar en la forma en que mi profesor parece pensar que son (todavía estoy permitiendo la posibilidad de que yo podría haber entendido mal), me parece que, dados dos compuestos declaraciones de R y S, la lógica de la equivalencia de R y S implica la biconditionality de R y S, y viceversa. O en otras palabras, la lógica de la equivalencia de R y S es bicondicional con el biconditionality de R y S. Incluso si las dos relaciones no son el mismo tipo de relación, no puedes tener uno sin el otro. Es esto correcto? Casi se siente como que me estoy tratando con la lógica detrás de la lógica misma. Estoy perdiendo mi tiempo tratando de entender esto?
Pregunta 4
Me gusta pensar compuesto de declaraciones como la lógica de la versión de las funciones de trato en el Cálculo de f (x) y all that jazz), donde la entrada de ciertos valores de x (o lo que sea), y la función escupe un valor resultante y (o lo que sea) basado en las operaciones que tienen lugar dentro de la función. Así que, en mi cabeza, $\equiv$ es la lógica de la versión de la matemática $=$; esto quiere decir que dos diferentes "funciones lógicas" (o compuesto de declaraciones) que tienen las mismas entradas se dan las mismas salidas, aunque las operaciones se realizan sobre los insumos con el fin de lograr el resultado puede ser diferente. En otras palabras, compuesto de declaraciones son como las funciones que lidiar con la verdad de los valores en lugar de valores numéricos. Es esta una buena manera de pensar? Siempre me preocupa que las analogías puedo crear en mi mente sólo funcionará hasta encontrar algún ejemplo más adelante que rompe mi analogía, y luego, en ese punto voy a ser tan acostumbrados a que mi analogía que va a ser difícil pensar en contrario.
Resumen
1) Es el $=$ signo reservado para su uso dentro de la componente de declaraciones que pueden hacer hasta una instrucción compuesta, o es aceptable para relacionar dos declaraciones usando el $=$ signo?
2) ¿Cuál es la diferencia entre el$\leftrightarrow$$\Leftrightarrow$, si hay una diferencia? Mi teoría actual (que yo he hecho totalmente por mi cuenta) es que $\leftrightarrow$ es utilizado para conectar las instrucciones básicas en mayor compuesto de declaraciones, y que $\Leftrightarrow$ es utilizado para hacer una especie de "metastatement" acerca de dos compuestos declaraciones.
3) ¿Cuál es la diferencia entre el$\equiv$$\Leftrightarrow$? A mí me parece que afirman las relaciones entre los diferentes compuestos declaraciones, pero que si la relación expresada por una es verdadera, entonces el otro tiene que ser cierto. Es adecuada para asignar valores de verdad a estos "metastatements", como yo les llamo, y, a continuación, compare los metastatements diciendo que ellos, también, son bicondicional (creando así una nueva, incluso mayor que la declaración de la afirmación de una relación entre dos compuestos declaraciones, que a su vez constan de las relaciones entre el componente de declaraciones)?
4) Está compuesto de declaraciones análogas a las funciones matemáticas en la manera en que yo creo que son?
Traté de hacer estas preguntas a un par de otros estudiantes en mi clase, pero no estaban muy seguros de sí mismos.
